3.(6.2分)已知向量a_(1)=(1,1,0),a_(2)=(1,0,1),a_(3)=(0,1,1),beta =(2,0,0).若用a_(1),a_(2),a_(3)的线性组合来表示beta ，则beta =().A. a_(1)+a_(2)-a_(3)B. 2a_(1)-a_(2)-a_(3)C. a_(1)+a_(2)-2a_(3)D. 2a_(1)-a_(2)-2a_(3)

本题考查向量的线性组合以及向量的线性运算。解题思路是设出$\beta$关于$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$的线性组合表达式，然后根据向量相等的条件列出方程组，求解出组合系数，最后将系数代入表达式得到结果。

设$\beta = x a_{1}+y a_{2}+z a_{3}$，已知$a_{1}=(1,1,0)$，$a_{2}=(1,0,1)$，$a_{3}=(0,1,1)$，$\beta =(2,0,0)$，则有：

$x a_{1}+y a_{2}+z a_{3}=x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)$
根据向量数乘的坐标运算规则：若$\vec{m}=(m_1,m_2,m_3)$，$k$为实数，则$k\vec{m}=(km_1,km_2,km_3)$，可得：
$x(1,1,0)=(x,x,0)$，$y(1,0,1)=(y,0,y)$，$z(0,1,1)=(0,z,z)$

再根据向量加法的坐标运算规则：若$\vec{m}=(m_1,m_2,m_3)$，$\vec{n}=(n_1,n_2,n_3)$，则$\vec{m}+\vec{n}=(m_1 + n_1,m_2 + n_2,m_3 + n_3)$，可得：
$x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)=(x + y,x + z,y + z)$

因为$\beta = x a_{1}+y a_{2}+z a_{3}$，所以$(x + y,x + z,y + z)=(2,0,0)$。
根据向量相等的条件：若$\vec{m}=(m_1,m_2,m_3)$，$\vec{n}=(n_1,n_2,n_3)$，且$\vec{m}=\vec{n}$，则$m_1 = n_1$，$m_2 = n_2$，$m_3 = n_3$，可得到方程组：
$\begin{cases}x + y = 2&(1)\\x + z = 0&(2)\\y + z = 0&(3)\end{cases}$

由$(2)$式可得$z=-x$，由$(3)$式可得$z=-y$，所以$x = y$。
将$x = y$代入$(1)$式可得：$x + x = 2$，即$2x = 2$，解得$x = 1$。
因为$x = y$，所以$y = 1$；又因为$z=-x$，所以$z = -1$。

所以$\beta = 1\times a_{1}+1\times a_{2}+(-1)\times a_{3}=a_{1}+a_{2}-a_{3}$。