题目
一向量与x轴和y轴的夹角相等,而与z轴的夹角是与x轴、y轴夹角的两倍,求向-|||-量的方向角.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定已知条件
已知向量与x轴和y轴的夹角相等，设为$\alpha$，与z轴的夹角为$2\alpha$。
步骤 2：利用方向余弦的性质
方向余弦的性质是：${\cos }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\beta +{\cos }^{2}\gamma =1$，其中$\alpha$、$\beta$、$\gamma$分别是向量与x轴、y轴、z轴的夹角。
步骤 3：代入已知条件
将$\alpha =\beta$和$\gamma =2\alpha$代入方向余弦的性质中，得到${\cos }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\alpha +{\cos }^{2}(2\alpha )=1$。
步骤 4：化简方程
化简得到$2{\cos }^{2}\alpha +{\cos }^{2}(2\alpha )=1$，利用二倍角公式${\cos }^{2}(2\alpha )=2{\cos }^{2}\alpha -1$，代入得到$2{\cos }^{2}\alpha +2{\cos }^{2}\alpha -1=1$，即$4{\cos }^{2}\alpha -1=1$。
步骤 5：求解$\cos \alpha$
解方程$4{\cos }^{2}\alpha -1=1$，得到$4{\cos }^{2}\alpha =2$，即${\cos }^{2}\alpha =\dfrac {1}{2}$，因此$\cos \alpha =\pm \dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
步骤 6：求解$\alpha$、$\beta$、$\gamma$
当$\cos \alpha =\dfrac {\sqrt {2}}{2}$时，$\alpha =\beta =\dfrac {\pi }{4}$，$\gamma =\dfrac {\pi }{2}$；当$\cos \alpha =-\dfrac {\sqrt {2}}{2}$时，$\alpha =\beta =\dfrac {3\pi }{4}$，$\gamma =\dfrac {3\pi }{2}$。但$\gamma =\dfrac {3\pi }{2}$不符合向量方向角的定义，因此舍去。
已知向量与x轴和y轴的夹角相等，设为$\alpha$，与z轴的夹角为$2\alpha$。
步骤 2：利用方向余弦的性质
方向余弦的性质是：${\cos }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\beta +{\cos }^{2}\gamma =1$，其中$\alpha$、$\beta$、$\gamma$分别是向量与x轴、y轴、z轴的夹角。
步骤 3：代入已知条件
将$\alpha =\beta$和$\gamma =2\alpha$代入方向余弦的性质中，得到${\cos }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\alpha +{\cos }^{2}(2\alpha )=1$。
步骤 4：化简方程
化简得到$2{\cos }^{2}\alpha +{\cos }^{2}(2\alpha )=1$，利用二倍角公式${\cos }^{2}(2\alpha )=2{\cos }^{2}\alpha -1$，代入得到$2{\cos }^{2}\alpha +2{\cos }^{2}\alpha -1=1$，即$4{\cos }^{2}\alpha -1=1$。
步骤 5：求解$\cos \alpha$
解方程$4{\cos }^{2}\alpha -1=1$，得到$4{\cos }^{2}\alpha =2$，即${\cos }^{2}\alpha =\dfrac {1}{2}$，因此$\cos \alpha =\pm \dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
步骤 6：求解$\alpha$、$\beta$、$\gamma$
当$\cos \alpha =\dfrac {\sqrt {2}}{2}$时，$\alpha =\beta =\dfrac {\pi }{4}$，$\gamma =\dfrac {\pi }{2}$；当$\cos \alpha =-\dfrac {\sqrt {2}}{2}$时，$\alpha =\beta =\dfrac {3\pi }{4}$，$\gamma =\dfrac {3\pi }{2}$。但$\gamma =\dfrac {3\pi }{2}$不符合向量方向角的定义，因此舍去。