题目
5.假设某厂生产的钢珠直径X(以mm计)服从正态分布N(μ,σ ^2),现从该厂刚生产出的一大堆钢珠中-|||-随机地抽取9粒,测量它们的直径,并求得其样本均值 overline (x)=31.06mm, 样本方差为 ^2=(0.25)^2. 试求总体方差-|||-的置信度为0.95的置信区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本信息
样本均值 $\overline{x} = 31.06$ mm，样本方差 $S^2 = 0.25^2 = 0.0625$，样本容量 $n = 9$。
步骤 2：确定置信度和自由度
置信度为0.95，自由度 $df = n - 1 = 8$。
步骤 3：查表确定卡方值
查卡方分布表，找到自由度为8的卡方值，使得 $\chi^2_{0.025,8}$ 和 $\chi^2_{0.975,8}$ 分别对应于0.025和0.975的累积概率。查表得到 $\chi^2_{0.025,8} = 17.535$ 和 $\chi^2_{0.975,8} = 2.180$。
步骤 4：计算置信区间
总体方差的置信区间为 $\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.025,8}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.975,8}}\right)$。
代入数值，得到 $\left(\frac{8 \times 0.0625}{17.535}, \frac{8 \times 0.0625}{2.180}\right)$。
计算得到 $\left(\frac{0.5}{17.535}, \frac{0.5}{2.180}\right)$。
计算得到 $\left(0.0285, 0.2293\right)$。
样本均值 $\overline{x} = 31.06$ mm，样本方差 $S^2 = 0.25^2 = 0.0625$，样本容量 $n = 9$。
步骤 2：确定置信度和自由度
置信度为0.95，自由度 $df = n - 1 = 8$。
步骤 3：查表确定卡方值
查卡方分布表，找到自由度为8的卡方值，使得 $\chi^2_{0.025,8}$ 和 $\chi^2_{0.975,8}$ 分别对应于0.025和0.975的累积概率。查表得到 $\chi^2_{0.025,8} = 17.535$ 和 $\chi^2_{0.975,8} = 2.180$。
步骤 4：计算置信区间
总体方差的置信区间为 $\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.025,8}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.975,8}}\right)$。
代入数值，得到 $\left(\frac{8 \times 0.0625}{17.535}, \frac{8 \times 0.0625}{2.180}\right)$。
计算得到 $\left(\frac{0.5}{17.535}, \frac{0.5}{2.180}\right)$。
计算得到 $\left(0.0285, 0.2293\right)$。