题目
设f"(x)＜0，f(0)=0．证明对任何x1＞0，x2＞0，有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)．
设f"(x)＜0，f(0)=0．证明对任何x1＞0，x2＞0，有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)．
题目解答
答案
[证法1] 用拉格朗日中值定理，不妨设x2＞x1＞0，要证的不等式是 f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)． 在[0，x1]上用中值定理，有 f(x1)=f’(0)=f’(ξ)x1，0＜ξ＜x1． 在[x1，x1+x2]上用中值定理，又有 f(x1+x2)-f(x2)=f’(η)x1，x2＜η＜x1+x2． 由f"(x)＜0，f’(x)单调减，而ξ＜x1＜x2＜η，有f’(ξ)＞f’(η)．由此 f(x1+x2)-f(x2)＜f(x1)-f(0)=f(x1)． [证法2] 用函数不等式来证明．要证 f(x1+x)＜f(x1)+f(x)，x＞0， 令φ(x)=f(x1)+f(x)-f(x1+x)，则φ’(x)=f’(x)-f’(x1+x)． 由f"(x)＜0，f’(x)单调减，f’(x)＞f’(x1+x)，φ’(x)＞0，由此， φ(x)＞φ(0)=f(x1)+f(0)-f(x1)=0(x＞0)． 改x为x2即得证．
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数φ(x)=f(x1)+f(x)-f(x1+x)，其中x1＞0，x＞0。我们的目标是证明φ(x)＞0，从而证明f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)。
步骤 2：计算辅助函数的导数
计算φ(x)的导数φ’(x)。根据φ(x)的定义，我们有φ’(x)=f’(x)-f’(x1+x)。
步骤 3：利用f"(x)＜0的条件
由于f"(x)＜0，f’(x)是单调递减的。因此，对于x＞0，有f’(x)＞f’(x1+x)。这意味着φ’(x)＞0，即φ(x)是单调递增的。
步骤 4：计算φ(0)
计算φ(0)=f(x1)+f(0)-f(x1)=0，因为f(0)=0。
步骤 5：利用φ(x)的单调性
由于φ(x)是单调递增的，且φ(0)=0，对于x＞0，有φ(x)＞φ(0)=0。因此，φ(x)＞0，即f(x1)+f(x)-f(x1+x)＞0。
步骤 6：得出结论
将x替换为x2，我们得到f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)＞0，即f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)。
定义辅助函数φ(x)=f(x1)+f(x)-f(x1+x)，其中x1＞0，x＞0。我们的目标是证明φ(x)＞0，从而证明f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)。
步骤 2：计算辅助函数的导数
计算φ(x)的导数φ’(x)。根据φ(x)的定义，我们有φ’(x)=f’(x)-f’(x1+x)。
步骤 3：利用f"(x)＜0的条件
由于f"(x)＜0，f’(x)是单调递减的。因此，对于x＞0，有f’(x)＞f’(x1+x)。这意味着φ’(x)＞0，即φ(x)是单调递增的。
步骤 4：计算φ(0)
计算φ(0)=f(x1)+f(0)-f(x1)=0，因为f(0)=0。
步骤 5：利用φ(x)的单调性
由于φ(x)是单调递增的，且φ(0)=0，对于x＞0，有φ(x)＞φ(0)=0。因此，φ(x)＞0，即f(x1)+f(x)-f(x1+x)＞0。
步骤 6：得出结论
将x替换为x2，我们得到f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)＞0，即f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)。