题目

已知函数 f(x) 在节点 x_0=0, x_1=1, x_2=2，满足 f(x_0)=1, f(x_1)=0, f(x_2)=1, f'(x_1)=11、分别用 Langrange 插值和牛顿插值求满足 L_2(x_k)=f(x_k), N_2(x_k)=f(x_k)(k=0,1,2) 的二次插值多项式；2、求三次 Hermite 插值多项式 H_3(x) 满足 H_3(x_k)=f(x_k), (k=0,1,2), H_3'(x_1)=f'(x_1).

已知函数 $f(x)$ 在节点 $x_0=0, x_1=1, x_2=2$，满足 $f(x_0)=1, f(x_1)=0, f(x_2)=1, f'(x_1)=1$ 1、分别用 Langrange 插值和牛顿插值求满足 $L_2(x_k)=f(x_k)$, $N_2(x_k)=f(x_k)(k=0,1,2)$ 的二次插值多项式； 2、求三次 Hermite 插值多项式 $H_3(x)$ 满足 $H_3(x_k)=f(x_k)$, $(k=0,1,2)$, $H_3'(x_1)=f'(x_1)$.

题目解答

答案

1. **拉格朗日插值与牛顿插值** 由节点 $x_0=0$，$x_1=1$，$x_2=2$ 和函数值 $f(x_0)=1$，$f(x_1)=0$，$f(x_2)=1$，可得二次插值多项式： \[ L_2(x) = N_2(x) = (x-1)^2 \] **答案：** $(x-1)^2$ 2. **三次 Hermite 插值** 满足条件 $H_3(x_0)=1$，$H_3(x_1)=0$，$H_3(x_2)=1$，$H_3'(x_1)=1$ 的三次多项式为： \[ H_3(x) = 1 - 4x + 4x^2 - x^3 \] **答案：** $1 - 4x + 4x^2 - x^3$ \[ \boxed{ \begin{array}{cc} \text{拉格朗日/牛顿插值：} & (x-1)^2 \\ \text{三次 Hermite 插值：} & 1 - 4x + 4x^2 - x^3 \\ \end{array} } \]

解析

考查要点
本题主要考查插值多项式的构造方法，包括拉格朗日插值、牛顿插值和三次Hermite插值。需要根据给定节点和函数值（及导数）构造满足条件的多项式。

解题核心思路

拉格朗日插值：通过基函数线性组合构造多项式，直接代入节点值。
牛顿插值：利用差商表逐步构建多项式，简化计算。
三次Hermite插值：结合函数值和导数条件，建立方程组求解系数。

破题关键点

对称性观察：节点对称时，多项式可能具有简单形式（如顶点在$x=1$的抛物线）。
差商计算：牛顿插值的关键在于正确计算各阶差商。
方程组求解：三次Hermite插值需联立函数值和导数条件，解线性方程组。

1. 拉格朗日插值与牛顿插值

拉格朗日插值

构造二次基函数：
$\begin{aligned}L_0(x) &= \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2}, \\L_1(x) &= \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} = -x(x-2), \\L_2(x) &= \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} = \frac{x(x-1)}{2}.\end{aligned}$
代入函数值：
$L_2(x) = 1 \cdot L_0(x) + 0 \cdot L_1(x) + 1 \cdot L_2(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{2} + \frac{x(x-1)}{2} = (x-1)^2.$

牛顿插值

计算差商表：
$\begin{array}{c|c|c|c}x & f(x) & 一阶差商 & 二阶差商 \\\hline0 & 1 & -1 & 1 \\1 & 0 & 1 & \\2 & 1 & & \\\end{array}$
多项式为：
$N_2(x) = 1 - x + 1 \cdot x(x-1) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2.$

2. 三次Hermite插值

设$H_3(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，代入条件：

$H_3(0) = d = 1$；
$H_3(1) = a + b + c + 1 = 0$；
$H_3(2) = 8a + 4b + 2c + 1 = 1$；
$H_3'(1) = 3a + 2b + c = 1$。

解得：
$a = -1, \quad b = 4, \quad c = -4, \quad d = 1.$
因此：
$H_3(x) = -x^3 + 4x^2 - 4x + 1 = 1 - 4x + 4x^2 - x^3.$