设总体 X 的密度函数为 [ f(x)= } (2)/(theta^2)(theta-x), & 0 < x < theta 0, & (其他) ] theta > 0 为未知参数), X_1, X_2, ldots, X_n 为总体 X 的样本,若求 theta 的最大似然估计,则似然函数为() A. L(theta)= (2^n)/(theta^2n)(theta-sum_(i=1)^n x_i), 0 < x_i < theta, i = 1, 2, ldots, nB. L(theta)= (2^n)/(theta^2n)(theta-sum_(i=1)^n x_i), 0 < x_i < theta, i = 1, 2, ldots, nC. L(theta)= (2^n)/(theta^2n)prod_(i=1)^n(theta-x_i), 0 < x_i < theta, i = 1, 2, ldots, nD. L(theta)= (2^n)/(theta^2n)sum_(i=1)^n(theta-x_i), 0 < x_i < theta, i = 1, 2, ldots, n

考查要点：本题主要考查最大似然估计中似然函数的构造方法，需要根据给定的密度函数写出样本的联合密度函数（即似然函数），并注意参数θ的约束条件。

解题核心思路：

1. 似然函数的定义：似然函数是样本联合密度函数的乘积，即每个样本点密度函数的乘积。
2. 密度函数的结构：题目中密度函数为分段函数，当$0 < x_i < \theta$时，$f(x_i) = \frac{2}{\theta^2}(\theta - x_i)$；否则为0。因此，所有样本必须满足$0 < x_i < \theta$，否则似然函数为0。
3. 乘积展开：将每个样本的密度函数相乘，得到$\left( \frac{2}{\theta^2} \right)^n \prod_{i=1}^n (\theta - x_i)$，并注意条件$\theta > \max\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$。

破题关键点：

• 排除错误选项：选项A、B错误地将$\prod (\theta - x_i)$替换为$\theta - \sum x_i$，选项D错误地使用求和符号$\sum$，只有选项C正确构造了乘积形式。

步骤1：写出单个样本的密度函数
对于每个样本$X_i$，其密度函数为：
$f(x_i) = \begin{cases} \frac{2}{\theta^2}(\theta - x_i), & 0 < x_i < \theta \\0, & \text{其他}\end{cases}$

步骤2：构造似然函数
似然函数是样本联合密度函数的乘积：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{2}{\theta^2}(\theta - x_i) \right]$

步骤3：展开乘积
将乘积分解为常数项和变量项：
$L(\theta) = \left( \frac{2}{\theta^2} \right)^n \prod_{i=1}^n (\theta - x_i) = \frac{2^n}{\theta^{2n}} \prod_{i=1}^n (\theta - x_i)$

步骤4：确定条件
所有样本必须满足$0 < x_i < \theta$，即$\theta$必须大于所有样本的最大值。

选项分析：

• 选项C正确表达了乘积形式$\prod_{i=1}^n (\theta - x_i)$，并附加了正确的条件$0 < x_i < \theta$。
• 其他选项因错误地处理$\prod$与$\sum$的关系而被排除。