《大数据分析素养》第5章，共148题 卡方分布的数学期望等于它的方差()。 A. 正确B. 错误

卡方分布是统计学中常见分布，其数学期望和方差均与自由度相关。

• 数学期望：若卡方分布的自由度为$k$，则期望为$E(\chi^2) = k$。
• 方差：方差为$\text{Var}(\chi^2) = 2k$。
  因此，数学期望与方差不相等，除非自由度$k=0$（但自由度至少为1）。题目中“数学期望等于方差”的说法错误。

卡方分布的定义是：若$Z_1, Z_2, \dots, Z_k$为独立的标准正态变量，则$\chi^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + \dots + Z_k^2$服从自由度为$k$的卡方分布。

1. 计算期望：
   每个$Z_i^2$的期望为$E(Z_i^2) = 1$，因此总和的期望为：
   $E(\chi^2) = E\left(\sum_{i=1}^k Z_i^2\right) = \sum_{i=1}^k E(Z_i^2) = k.$
2. 计算方差：
   每个$Z_i^2$的方差为$\text{Var}(Z_i^2) = 2$（标准正态变量平方的性质），因此总和的方差为：
   $\text{Var}(\chi^2) = \text{Var}\left(\sum_{i=1}^k Z_i^2\right) = \sum_{i=1}^k \text{Var}(Z_i^2) = 2k.$
3. 比较期望与方差：
   期望为$k$，方差为$2k$，显然两者不相等（除非$k=0$，但自由度$k \geq 1$）。因此题目说法错误。