题目
单选题（共35题，70.0分） 题型说明：无 11.（2.0分）考察知识点【积分求解方法】 int e^xsin xdx A.三角代换 B.分部积分 C.凑微分 D.倒代换
单选题（共35题，70.0分） 题型说明：无 11.（2.0分）考察知识点【积分求解方法】 $\int e^{x}\sin xdx$
A.三角代换
B.分部积分
C.凑微分
D.倒代换
A.三角代换
B.分部积分
C.凑微分
D.倒代换
题目解答
答案
为了求解积分 $\int e^x \sin x \, dx$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
在这个问题中，我们可以选择 $u = \sin x$ 和 $dv = e^x \, dx$。那么，$du = \cos x \, dx$ 和 $v = e^x$。应用分部积分法，我们得到：
\[
\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx
\]
现在，我们需要求解积分 $\int e^x \cos x \, dx$。再次使用分部积分法，我们选择 $u = \cos x$ 和 $dv = e^x \, dx$。那么，$du = -\sin x \, dx$ 和 $v = e^x$。应用分部积分法，我们得到：
\[
\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx
\]
将这个结果代入原来的表达式，我们得到：
\[
\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \left( e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx \right)
\]
简化右边的表达式，我们得到：
\[
\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - e^x \cos x - \int e^x \sin x \, dx
\]
为了隔离 $\int e^x \sin x \, dx$，我们可以在两边加上 $\int e^x \sin x \, dx$：
\[
2 \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - e^x \cos x
\]
然后，我们除以2：
\[
\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x \sin x - \frac{1}{2} e^x \cos x + C
\]
其中 $C$ 是积分常数。因此，积分 $\int e^x \sin x \, dx$ 的解是：
\[
\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C
\]
从题目中，我们需要选择解题方法，而我们使用的方法是分部积分法。因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
本题考查积分求解方法的知识点，解题思路是判断求解$\int e^{x}\sin xdx$所使用的积分方法。
- 对于选项A：三角代换通常用于处理含有$\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$、$\sqrt{x^2 - a^2}$等形式的积分，通过引入三角函数来简化被积函数。而本题的被积函数$e^{x}\sin x$并不符合三角代换的适用形式，所以不能用三角代换求解该积分。
- 对于选项B：分部积分法的公式为$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。在求解$\int e^{x}\sin xdx$时，我们可以令$u = \sin x$，$dv = e^{x}dx$，则$du = \cos xdx$，$v = e^{x}$。根据分部积分公式可得：
$\int e^{x}\sin xdx=e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos xdx$
对于$\int e^{x}\cos xdx$，再次使用分部积分法，令$u = \cos x$，$dv = e^{x}dx$，则$du = -\sin xdx$，$v = e^{x}$，可得：
$\int e^{x}\cos xdx=e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin xdx$
将$\int e^{x}\cos xdx=e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin xdx$代入$\int e^{x}\sin xdx=e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos xdx$中，得到：
$\int e^{x}\sin xdx=e^{x}\sin x - (e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin xdx)$
$\int e^{x}\sin xdx=e^{x}\sin x - e^{x}\cos x - \int e^{x}\sin xdx$
移项可得：
$2\int e^{x}\sin xdx=e^{x}\sin x - e^{x}\cos x$
两边同时除以$2$得：
$\int e^{x}\sin xdx=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x - \cos x)+C$（$C$为积分常数）
所以可以使用分部积分法求解该积分。 - 对于选项C：凑微分法是将被积函数凑成某个函数的微分形式，然后利用积分公式求解。本题的被积函数$e^{x}\sin x$无法直接凑成某个函数的微分形式，所以不能用凑微分法求解该积分。
- 对于选项D：倒代换一般用于处理形如$\int\frac{f(\frac{1}{x})}{x^2}dx$的积分，通过令$t=\frac{1}{x}$来简化积分。本题的被积函数$e^{x}\sin x$不符合倒代换的适用形式，所以不能用倒代换求解该积分。