题目
如果随机变量X～N(μ，σ2)，且E(X)=3，D(X)=1，则P(-1≤X≤1)=( )．A. 2Φ(1)-1B. Φ(4)-Φ(2)C. Φ(-4)-Φ(-2)D. Φ(2)-Φ(4)
如果随机变量X～N(μ，σ2)，且E(X)=3，D(X)=1，则P(-1≤X≤1)=( )．
A. 2Φ(1)-1
B. Φ(4)-Φ(2)
C. Φ(-4)-Φ(-2)
D. Φ(2)-Φ(4)
题目解答
答案
B. Φ(4)-Φ(2)
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
已知随机变量X～N(μ，σ2)，且E(X)=3，D(X)=1。根据正态分布的性质，E(X)=μ，D(X)=σ2。因此，μ=3，σ2=1，σ=1。
步骤 2：计算P(-1≤X≤1)
要计算P(-1≤X≤1)，首先需要将X的值标准化，即转换为标准正态分布Z的值。标准化公式为Z=(X-μ)/σ。因此，当X=-1时，Z=(-1-3)/1=-4；当X=1时，Z=(1-3)/1=-2。所以，P(-1≤X≤1)=P(-4≤Z≤-2)。
步骤 3：利用标准正态分布表计算概率
根据标准正态分布表，P(Z≤-2)=Φ(-2)，P(Z≤-4)=Φ(-4)。因此，P(-4≤Z≤-2)=Φ(-2)-Φ(-4)。由于标准正态分布是关于0对称的，Φ(-2)=1-Φ(2)，Φ(-4)=1-Φ(4)。所以，P(-4≤Z≤-2)=Φ(4)-Φ(2)。
已知随机变量X～N(μ，σ2)，且E(X)=3，D(X)=1。根据正态分布的性质，E(X)=μ，D(X)=σ2。因此，μ=3，σ2=1，σ=1。
步骤 2：计算P(-1≤X≤1)
要计算P(-1≤X≤1)，首先需要将X的值标准化，即转换为标准正态分布Z的值。标准化公式为Z=(X-μ)/σ。因此，当X=-1时，Z=(-1-3)/1=-4；当X=1时，Z=(1-3)/1=-2。所以，P(-1≤X≤1)=P(-4≤Z≤-2)。
步骤 3：利用标准正态分布表计算概率
根据标准正态分布表，P(Z≤-2)=Φ(-2)，P(Z≤-4)=Φ(-4)。因此，P(-4≤Z≤-2)=Φ(-2)-Φ(-4)。由于标准正态分布是关于0对称的，Φ(-2)=1-Φ(2)，Φ(-4)=1-Φ(4)。所以，P(-4≤Z≤-2)=Φ(4)-Φ(2)。