题目
证明下列不等式.-|||-当 gt 1 时, ^xgt ecdot x ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(t) = e^t$，该函数在区间 $[1, x]$ 上是连续且可导的，其中 $x > 1$。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (1, x)$，使得
$$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(\xi)$$
即
$$\frac{e^x - e}{x - 1} = e^\xi$$
步骤 3：分析不等式
由于 $\xi \in (1, x)$，且 $x > 1$，则有 $\xi > 1$。因此，$e^\xi > e$。所以
$$\frac{e^x - e}{x - 1} > e$$
即
$$e^x - e > e(x - 1)$$
整理得
$$e^x > e \cdot x$$
定义函数 $f(t) = e^t$，该函数在区间 $[1, x]$ 上是连续且可导的，其中 $x > 1$。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (1, x)$，使得
$$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(\xi)$$
即
$$\frac{e^x - e}{x - 1} = e^\xi$$
步骤 3：分析不等式
由于 $\xi \in (1, x)$，且 $x > 1$，则有 $\xi > 1$。因此，$e^\xi > e$。所以
$$\frac{e^x - e}{x - 1} > e$$
即
$$e^x - e > e(x - 1)$$
整理得
$$e^x > e \cdot x$$