题目
4.设总体 sim N(mu ,(sigma )^2), 其中μ未知,若已知 =25, sum _(i=1)^25(x)_(i)=100,-|||-sum _(i=1)^25({x)_(i)}^2=520, 则σ^2的置信度为0.90的置信区间为 __ (附: ({x)_(0.05)}^2(24)=-|||-36.415, ({X)_(0.95)}^2(24)=13.848)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值 $\bar{x}$
样本均值 $\bar{x}$ 可以通过所有样本值的总和除以样本数量来计算。给定 $\sum _{i=1}^{25}{x}_{i}=100$ 和 $n=25$，我们有：
$$\bar{x} = \frac{\sum _{i=1}^{25}{x}_{i}}{n} = \frac{100}{25} = 4$$
步骤 2：计算样本方差 $s^2$
样本方差 $s^2$ 可以通过以下公式计算：
$$s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum _{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2} - n\bar{x}^2 \right)$$
给定 $\sum _{i=1}^{25}{{x}_{i}}^{2}=520$，$n=25$，$\bar{x}=4$，我们有：
$$s^2 = \frac{1}{24} \left( 520 - 25 \times 4^2 \right) = \frac{1}{24} \left( 520 - 400 \right) = \frac{120}{24} = 5$$
步骤 3：计算置信区间
置信区间可以通过以下公式计算：
$$\left( \frac{(n-1)s^2}{{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}}, \frac{(n-1)s^2}{{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}} \right)$$
给定 $n=25$，$s^2=5$，$\chi^2_{0.05, 24}=36.415$，$\chi^2_{0.95, 24}=13.848$，我们有：
$$\left( \frac{24 \times 5}{36.415}, \frac{24 \times 5}{13.848} \right) = \left( \frac{120}{36.415}, \frac{120}{13.848} \right) = \left( 3.295, 8.668 \right)$$
样本均值 $\bar{x}$ 可以通过所有样本值的总和除以样本数量来计算。给定 $\sum _{i=1}^{25}{x}_{i}=100$ 和 $n=25$，我们有：
$$\bar{x} = \frac{\sum _{i=1}^{25}{x}_{i}}{n} = \frac{100}{25} = 4$$
步骤 2：计算样本方差 $s^2$
样本方差 $s^2$ 可以通过以下公式计算：
$$s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum _{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2} - n\bar{x}^2 \right)$$
给定 $\sum _{i=1}^{25}{{x}_{i}}^{2}=520$，$n=25$，$\bar{x}=4$，我们有：
$$s^2 = \frac{1}{24} \left( 520 - 25 \times 4^2 \right) = \frac{1}{24} \left( 520 - 400 \right) = \frac{120}{24} = 5$$
步骤 3：计算置信区间
置信区间可以通过以下公式计算：
$$\left( \frac{(n-1)s^2}{{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}}, \frac{(n-1)s^2}{{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}} \right)$$
给定 $n=25$，$s^2=5$，$\chi^2_{0.05, 24}=36.415$，$\chi^2_{0.95, 24}=13.848$，我们有：
$$\left( \frac{24 \times 5}{36.415}, \frac{24 \times 5}{13.848} \right) = \left( \frac{120}{36.415}, \frac{120}{13.848} \right) = \left( 3.295, 8.668 \right)$$