(1) 1-|||-设矩阵α= 2 ,β= 1 ,矩阵 =a(beta )^r ,则 ^8= __-|||-1 1

考查要点：本题主要考查秩一矩阵的幂运算性质，即当矩阵$A$表示为外积形式$a\alpha\beta^T$时，其高次幂的快速计算方法。

解题核心思路：

1. 识别矩阵结构：确认$A$是秩一矩阵，形式为$a\alpha\beta^T$。
2. 利用标量简化：计算$\beta^T\alpha$的值（标量），将其提取到矩阵外。
3. 递推幂次规律：通过矩阵乘法的结合律，推导出$A^n$的通用表达式，避免逐次相乘的繁琐计算。

破题关键点：

• 标量提取：每次矩阵相乘时，$\beta^T\alpha$作为标量可反复提取，指数递增。
• 幂次规律：$A^n = a^n (\beta^T\alpha)^{n-1} \alpha\beta^T$，直接代入$n=8$即可。

已知条件：

• $\alpha = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$（列向量），$\beta = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix}$（行向量）。
• $A = a\alpha\beta^T$，其中$a=1$。

步骤解析：

1. 计算标量内积：
   $\beta^T\alpha = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 4.$

2. 推导$A^8$的表达式：
   根据秩一矩阵的幂运算性质：
   $A^n = a^n (\beta^T\alpha)^{n-1} \alpha\beta^T.$
   代入$n=8$，得：
   $A^8 = 1^8 \cdot 4^{7} \cdot \alpha\beta^T = 4^{7} \cdot \alpha\beta^T.$

3. 构造$\alpha\beta^T$矩阵：
   $\alpha\beta^T = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.$

4. 最终结果：
   将$\alpha\beta^T$乘以$4^7$，得到：
   $A^8 = 4^7 \cdot \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.$