题目

某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,随机抽查100户,设被盗索赔户的户数X,则由中心极限定理知,X近似服从_____

某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,随机抽查100户,设被盗索赔户的户数X,则由中心极限定理知,X近似服从_____

题目解答

答案

首先，我们知道在所有的索赔户中，被盗索赔户占的比例是 p = 0.2或20%）。

现在，我们随机抽查了100户索赔户，设其中被盗索赔户的户数为 X。

由于 X 是二项分布的随机变量，其分布为 B(100, 0.2)。

根据中心极限定理，当 n（这里是100）足够大时，二项分布 B(n, p) 可以近似地由正态分布来描述，其中：

μ = np

将 n = 100 和 p = 0.2 代入上述公式，我们得到：

所以，X 近似服从 N(20, 16)。

但通常，当我们说“近似服从正态分布”时，我们指的是标准正态分布 N(0, 1)。因此，为了将 X 转换为标准正态分布，我们需要进行标准化：

这样，Z 就近似服从 N(0, 1)。

但题目只问 X 近似服从什么分布，所以答案是 X近似服从 N(20, 16)。

故答案是：N(20, 16)

解析

考查要点：本题主要考查中心极限定理在二项分布中的应用，以及正态分布参数的计算。

解题核心思路：

  1. 明确题目中随机变量$X$服从二项分布$B(n, p)$，其中$n=100$，$p=0.2$。
  2. 根据中心极限定理，当$n$足够大时，二项分布可近似为正态分布$N(\mu, \sigma^2)$。
  3. 计算二项分布的期望$\mu = np$和方差$\sigma^2 = np(1-p)$，从而确定正态分布的参数。

破题关键点：

  • 正确识别$X$的分布类型（二项分布）。
  • 理解中心极限定理的作用：将二项分布转化为正态分布。
  • 准确计算正态分布的均值和方差。

  1. 确定分布类型
    题目中，$X$表示“100户中被盗索赔户的户数”，每次抽查的结果只有两种可能（被盗或未被盗），因此$X$服从二项分布$B(n, p)$，其中$n=100$，$p=0.2$。

  2. 应用中心极限定理
    当样本量$n$足够大时（通常$n \geq 30$即可），二项分布$B(n, p)$可近似为正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，其中：

    • 均值$\mu = np = 100 \times 0.2 = 20$
    • 方差$\sigma^2 = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$

  3. 结论
    因此，$X$近似服从正态分布$N(20, 16)$。