题目
8、设随机变量X,Y相互独立，并且都服从标准正态分布N(0,1)，则（ ）A. Pmin{X,Yleq0}=(3)/(4);B. Pmax{X,Yleq0}=(3)/(4);C. PX+Yleq0=(3)/(4);D. PX-Yleq0=(3)/(4).
8、设随机变量X,Y相互独立，并且都服从标准正态分布N(0,1)，则（ ）
A. $P\{\min\{X,Y\}\leq0\}=\frac{3}{4}$;
B. $P\{\max\{X,Y\}\leq0\}=\frac{3}{4}$;
C. $P\{X+Y\leq0\}=\frac{3}{4}$;
D. $P\{X-Y\leq0\}=\frac{3}{4}$.
题目解答
答案
A. $P\{\min\{X,Y\}\leq0\}=\frac{3}{4}$;
解析
考查要点：本题主要考查独立标准正态分布变量的极值（min、max）概率、线性组合的概率计算。
解题核心思路：
- 极值概率：利用补集思想计算$\min\{X,Y\} \leq 0$和$\max\{X,Y\} \leq 0$的概率；
- 线性组合分布：明确$X+Y$和$X-Y$的分布形式，结合对称性计算概率。
破题关键点：
- 选项A：$\min\{X,Y\} \leq 0$等价于“至少有一个变量$\leq 0$”，补集为“两个变量均$>0$”；
- 选项B：$\max\{X,Y\} \leq 0$等价于“两个变量均$\leq 0$”；
- 选项C、D：$X+Y$和$X-Y$均服从对称正态分布，概率可直接通过对称性得出。
选项A
关键步骤：
- $\min\{X,Y\} \leq 0$表示至少有一个变量$\leq 0$；
- 补集为$X > 0$且$Y > 0$，概率为$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$；
- 原概率为$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$，正确。
选项B
关键步骤：
- $\max\{X,Y\} \leq 0$表示两个变量均$\leq 0$；
- 概率为$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$，错误。
选项C
关键步骤：
- $X+Y \sim N(0, 2)$，对称分布；
- $P(X+Y \leq 0) = \frac{1}{2}$，错误。
选项D
关键步骤：
- $X-Y \sim N(0, 2)$，对称分布；
- $P(X-Y \leq 0) = \frac{1}{2}$，错误。