题目
设X_(1),X_(2),X_(3),X_(4),X_(5)是取自正态总体N(0,4)的一个样本，令Y=c_(1)(X_(1)+2X_(2))^2+c_(2)(X_(3)+3X_(4)-2X_(5))^2,求c_(1)=____，c_(2)=____，使得Y服从卡方分布，自由度为____.第1空：_第2空：_
设$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5}$是取自正态总体N(0,4)的一个样本，令
$Y=c_{1}(X_{1}+2X_{2})^{2}+c_{2}(X_{3}+3X_{4}-2X_{5})^{2},$
求$c_{1}=$____，$c_{2}=$____，使得Y服从卡方分布，自由度为____.
第1空：_
第2空：_
题目解答
答案
1. **计算方差**
- 对于 $X_1 + 2X_2$：
\[
\text{Var}(X_1 + 2X_2) = 4 + 4 \times 4 = 20
\]
- 对于 $X_3 + 3X_4 - 2X_5$：
\[
\text{Var}(X_3 + 3X_4 - 2X_5) = 4 + 9 \times 4 + 4 \times 4 = 56
\]
2. **标准化并求 $c_1$、$c_2$**
- 令 $\frac{(X_1 + 2X_2)^2}{20} \sim \chi^2(1)$，得 $c_1 = \frac{1}{20}$。
- 令 $\frac{(X_3 + 3X_4 - 2X_5)^2}{56} \sim \chi^2(1)$，得 $c_2 = \frac{1}{56}$。
3. **确定自由度**
- $Y$ 为两个独立的 $\chi^2(1)$ 变量之和，自由度为 2。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{20} & \frac{1}{56} & 2
\end{array}
}
\]