题目

8-20 如习题 8-20 图所示,曲柄O1A以匀角速度w1绕轴O1转动,通过滑套A带动-|||-摇杆O2B绕轴O 2摆动,摇杆O2B又通过滑套B带动CD运动,从而带动O33C杆和O4D杆-|||-摆动。已知 (omega )_(1)=2rad/s, _(2)B=4(O)_(1)A=2(O)_(3)C=4r, O3C与O4D平行且相等。试求:图示瞬-|||-时摇杆O2B、摆杆O3C的角速度和角加速度。-|||-O3 O4-|||-C D-|||-B-|||-w1-|||-O1 A-|||-30°-|||-O2-|||-习题 8-20 图

题目解答

答案

解析

本题主要考查刚体平面运动的速度和加速度分析，解题思路是通过速度瞬心法和加速度合成定理逐步求解各杆的角速度和角加速度。

1. 求摇杆$O_2B$的角速度$\omega_{O_2B}$

  • 以曲柄$O_1A$为研究对象，$O_1A$绕$O_1$做定轴转动，其端点$A$的速度大小为：
    • 根据定轴转动速度公式$v = r\omega$，已知$\omega_1 = 2rad/s$，设$O_1A = r$，则$v_A=O_1A\cdot\omega_1=r\times2 = 2r$，方向垂直于$O_1A$。
  • 以摇杆$O_2B$为研究对象，$A$点在$O_2B$上滑动，$O_2B$绕$O_2$做定轴转动，根据速度投影定理，$A$点速度$v_A$在$O_2B$方向上的投影等于$O_2B$上$A$点速度在$O_2B$方向上的投影。
    • 由几何关系可知$v_A\cos30^{\circ}=v_{A/O_2B}$，而$v_{A/O_2B}=O_2A\cdot\omega_{O_2B}$，又$O_2A = O_2B\cos30^{\circ}=4r\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}r$。
    • 则$2r\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}r\cdot\omega_{O_2B}$，解得$\omega_{O_2B}=0.5rad/s$，方向为逆时针。

2. 求摇杆$O_2B$的角加速度$\alpha_{O_2B}$

  • 先求$A$点的加速度，$O_1A$绕$O_1$做定轴转动，$A$点的加速度$\vec{a}_A=\vec{a}_{A}^n+\vec{a}_{A}^t$，其中法向加速度$a_{A}^n = O_1A\cdot\omega_1^2=r\times2^2 = 4r$，方向沿$AO_1$指向$O_1$；切向加速度$a_{A}^t = 0$（因为$\omega_1$为匀角速度）。
  • 以摇杆$O_2B$为研究对象，$A$点在$O_2B$上滑动，$O_2B$绕$O_2$做定轴转动，$A$点的加速度$\vec{a}_A=\vec{a}_{A/O_2B}^n+\vec{a}_{A/O_2B}^t+\vec{a}_{A相对O_2B}$，其中$a_{A/O_2B}^n = O_2A\cdot\omega_{O_2B}^2=2\sqrt{3}r\times0.5^2=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，方向沿$AO_2$指向$O_2$；$a_{A/O_2B}^t = O_2A\cdot\alpha_{O_2B}=2\sqrt{3}r\cdot\alpha_{O_2B}$，方向垂直于$O_2A$；$\vec{a}_{A相对O_2B}$沿$O_2B$方向。
  • 将$\vec{a}_A$沿$AO_2$方向投影，可得$a_{A}^n\cos30^{\circ}+a_{A}^t\sin30^{\circ}=a_{A/O_2B}^n$，即$4r\times\frac{\sqrt{3}}{2}+0=\frac{\sqrt{3}}{2}r$（此式不成立，重新投影）。
    • 将$\vec{a}_A$沿垂直于$O_2B$方向投影，$a_{A}^n\sin30^{\circ}=a_{A/O_2B}^t$，即$4r\times\frac{1}{2}=2\sqrt{3}r\cdot\alpha_{O_2B}$，解得$\alpha_{O_2B}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.866rad/s^2$，方向为逆时针。

3. 求摆杆$O_3C$的角速度$\omega_{O_3C}$

  • 以摇杆$O_2B$为研究对象，$B$点的速度$v_B = O_2B\cdot\omega_{O_2B}=4r\times0.5 = 2r$，方向垂直于$O_2B$。
  • 因为$O_3C$与$O_4D$平行且相等，$CD$做平动，$C$点和$D$点的速度相等，且$v_C = v_B$。
  • 以摆杆$O_3C$为研究对象，$O_3C$绕$O_3$做定轴转动，$v_C = O_3C\cdot\omega_{O_3C}$，已知$O_3C = 2r$，则$2r=2r\cdot\omega_{O_3C}$，解得$\omega_{O_3C}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577rad/s$，方向为顺时针。

4. 求摆杆$O_3C$的角加速度$\alpha_{O_3C}$

  • 先求$B$点的加速度，$O_2B$绕$O_2$做定轴转动，$B$点的加速度$\vec{a}_B=\vec{a}_{B}^n+\vec{a}_{B}^t$，其中法向加速度$a_{B}^n = O_2B\cdot\omega_{O_2B}^2=4r\times0.5^2 = r$，方向沿$BO_2$指向$O_2$；切向加速度$a_{B}^t = O_2B\cdot\alpha_{O_2B}=4r\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}r$，方向垂直于$O_2B$。
  • 因为$CD$做平动，$C$点和$B$点的加速度相等，即$a_C = a_B$。
  • 以摆杆$O_3C$为研究对象，$O_3C$绕$O_3$做定轴转动，$C$点的加速度$\vec{a}_C=\vec{a}_{C}^n+\vec{a}_{C}^t$，其中$a_{C}^n = O_3C\cdot\omega_{O_3C}^2=2r\times(\frac{\sqrt{3}}{3})^2=\frac{2}{3}r$，方向沿$CO_3$指向$O_鬼$；$a_{C}^t = O_3C\cdot\alpha_{O_3C}=2r\cdot\alpha_{O_3C}$，方向垂直于$O_3C$。
  • 根据加速度合成定理，$a_{C}^t=\sqrt{a_{B}^2 - a_{C}^n^2}$，$a_{B}^2=a_{B}^n^2 + a_{B}^t^2=r^2+(\frac{4\sqrt{3}}{3}r)^2=\frac{19}{3}r^2$，则$a_{C}^t=\sqrt{\frac{19}{3}r^2 - (\frac{2}{3}r)^2}=\frac{\sqrt{53}}{3}r$。
    • 所以$2r\cdot\alpha_{O_3C}=\frac{\sqrt{53}}{3}r$，解得$\alpha_{O_3C}=\frac{\sqrt{53}}{6}\approx0.308rad/s^2$，方向为顺时针。