题目
某高校统计学专业有200 名本科生，学生会根据学号随机抽取了20 名同学，提取了他们餐卡中的每月食品支出数据，并通过问卷的形式请这些同学对食堂餐饮服务的满意度进行了评价，数据见下表：学号 性别 满意度 每月食品支出-|||-131 0 4 665-|||-176 1 1 677-|||-175 0 5 691-|||-179 0 3 701-|||-13 0 4 709-|||-134 1 2 722-|||-17 0 3 725-|||-64 1 5 729-|||-178 1 4 747-|||-106 0 3 757-|||-190 1 4 788-|||-193 1 3 792-|||-158 0 4 792-|||-164 1 2 806-|||-44 0 4 809-|||-186 1 4 822-|||-59 1 3 843-|||-107 0 5 927-|||-126 1 3 934-|||-49 1 3 987上表中，性别变量：0 代表女生，1 为男生；满意度变量：从1 至5，依次表示对食堂餐饮服务非常不满意、不满意、一般、满意、非常满意；每月食品支出（单位：元）的均值为781.15，样本标准差为88.67。请根据上述资料回答下列问题：如果学生的每月食品支出服从正态分布，总体方差未知，置信水平、1-a = 95%， Z a/2 =1.96，学号 性别 满意度 每月食品支出-|||-131 0 4 665-|||-176 1 1 677-|||-175 0 5 691-|||-179 0 3 701-|||-13 0 4 709-|||-134 1 2 722-|||-17 0 3 725-|||-64 1 5 729-|||-178 1 4 747-|||-106 0 3 757-|||-190 1 4 788-|||-193 1 3 792-|||-158 0 4 792-|||-164 1 2 806-|||-44 0 4 809-|||-186 1 4 822-|||-59 1 3 843-|||-107 0 5 927-|||-126 1 3 934-|||-49 1 3 987，则下列说法正确的是（ ）。（多选题）A、学生每月食品支出的样本均值服从自由度为 19 的 t 分布B、学号 性别 满意度 每月食品支出-|||-131 0 4 665-|||-176 1 1 677-|||-175 0 5 691-|||-179 0 3 701-|||-13 0 4 709-|||-134 1 2 722-|||-17 0 3 725-|||-64 1 5 729-|||-178 1 4 747-|||-106 0 3 757-|||-190 1 4 788-|||-193 1 3 792-|||-158 0 4 792-|||-164 1 2 806-|||-44 0 4 809-|||-186 1 4 822-|||-59 1 3 843-|||-107 0 5 927-|||-126 1 3 934-|||-49 1 3 987C、学号 性别 满意度 每月食品支出-|||-131 0 4 665-|||-176 1 1 677-|||-175 0 5 691-|||-179 0 3 701-|||-13 0 4 709-|||-134 1 2 722-|||-17 0 3 725-|||-64 1 5 729-|||-178 1 4 747-|||-106 0 3 757-|||-190 1 4 788-|||-193 1 3 792-|||-158 0 4 792-|||-164 1 2 806-|||-44 0 4 809-|||-186 1 4 822-|||-59 1 3 843-|||-107 0 5 927-|||-126 1 3 934-|||-49 1 3 987D、学生每月食品支出的总体均值将落入此次计算出的置信区间
某高校统计学专业有200 名本科生，学生会根据学号随机抽取了20 名同学，提取了他们餐卡中的每月食品支出数据，并通过问卷的形式请这些同学对食堂餐饮服务的满意度进行了评价，数据见下表：
上表中，性别变量：0 代表女生，1 为男生；满意度变量：从1 至5，依次表示对食堂餐饮服务非常不满意、不满意、一般、满意、非常满意；每月食品支出（单位：元）的均值为781.15，样本标准差为88.67。
请根据上述资料回答下列问题：
如果学生的每月食品支出服从正态分布，总体方差未知，置信水平、
1-a = 95%， Z a/2 =1.96，
，则下列说法正确的是（ ）。（多选题）
- A、学生每月食品支出的样本均值服从自由度为 19 的 t 分布
- B、
- C、
- D、学生每月食品支出的总体均值将落入此次计算出的置信区间
题目解答
答案
A,B
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于总体方差未知，且样本量较小（n=20），根据中心极限定理，样本均值的分布将服从自由度为 n-1=19 的 t 分布。
步骤 2：计算置信区间
置信水平为 95%，因此需要使用 t 分布的临界值 ${t}_{a/21}(19)=2.09$。置信区间的计算公式为：
$$
\bar{x} \pm t_{a/21}(n-1) \times \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$t_{a/21}(n-1)$ 是 t 分布的临界值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。
步骤 3：验证置信区间
将已知数值代入公式，计算置信区间。
由于总体方差未知，且样本量较小（n=20），根据中心极限定理，样本均值的分布将服从自由度为 n-1=19 的 t 分布。
步骤 2：计算置信区间
置信水平为 95%，因此需要使用 t 分布的临界值 ${t}_{a/21}(19)=2.09$。置信区间的计算公式为：
$$
\bar{x} \pm t_{a/21}(n-1) \times \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$t_{a/21}(n-1)$ 是 t 分布的临界值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。
步骤 3：验证置信区间
将已知数值代入公式，计算置信区间。