题目

4.（12.0分）情报部门截获敌方一段密码，拟安排若干技术人员去独立破译。假设每个技术人员 24小时内能译出密码的概率都是0.6，要实现不低于99.9%的概率在24小时内译出密码，问：至少要安排（____）个技术人员来破译.

题目解答

答案

设安排 $ x $ 个技术人员破译密码。每个技术人员 24 小时内未能破译密码的概率为 $ 1 - 0.6 = 0.4 $。因此，$ x $ 个技术人员均未能破译密码的概率为 $ 0.4^x $。
根据题意，至少有一个技术人员破译密码的概率应不低于 99.9%，即：
$1 - 0.4^x \geq 0.999$
整理得：
$0.4^x \leq 0.001$
取对数求解：
$x \log 0.4 \leq \log 0.001$
由于 $ \log 0.4 < 0 $，两边同除以 $ \log 0.4 $ 并反转不等号：
$x \geq \frac{\log 0.001}{\log 0.4} = \frac{-3}{\log 0.4}$
计算得：
$\log 0.4 \approx -0.39794 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{-3}{-0.39794} \approx 7.54$
由于 $ x $ 必须为整数，故 $ x \geq 8 $。

答案： 8个技术人员。

解析

本题考查独立事件概率的计算以及对数不等式的求解。解题的关键思路是先求出所有技术人员都未能破译密码的概率，再根据至少有一个技术人员破译密码的概率要求列出不等式，最后通过对数运算求解不等式得到所需技术人员的数量。

首先，明确每个技术人员 24 小时内未能破译密码的概率：
已知每个技术人员 24 小时内能译出密码的概率是$0.6$，根据对立事件概率之和为$1$，那么每个技术人员 24 小时内未能破译密码的概率为$1 - 0.6 = 0.4$。
然后，计算$x$个技术人员均未能破译密码的概率：
因为每个技术人员的破译情况是相互独立的，所以$x$个技术人员均未能破译密码的概率为$0.4^x$。
接着，根据题意列出不等式：
至少有一个技术人员破译密码的概率应不低于$99.9\%$，而“至少有一个技术人员破译密码”的对立事件是“$x$个技术人员均未能破译密码”，所以可列出不等式$1 - 0.4^x \geq 0.999$。
对不等式进行整理：
将不等式$1 - 0.4^x \geq 0.999$移项可得$0.4^x \leq 1 - 0.999$，即$0.4^x \leq 0.001$。
对不等式两边取对数：
对$0.4^x \leq 0.001$两边同时取对数，根据对数运算法则$\log a^b = b\log a$，可得$x\log 0.4 \leq \log 0.001$。
求解不等式：
因为$\log 0.4 \lt 0$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，所以将不等式$x\log 0.4 \leq \log 0.001$两边同时除以$\log 0.4$，得到$x \geq \frac{\log 0.001}{\log 0.4}$。
又因为$\log 0.001 = \log 10^{-3} = -3$，所以$x \geq \frac{-3}{\log 0.4}$。
计算$x$的取值范围：
通过计算可得$\log 0.4 \approx -0.39794$，则$x \geq \frac{-3}{-0.39794} \approx 7.54$。
确定$x$的最终值：
由于技术人员的数量$x$必须为整数，且$x \geq 7.54$，所以$x$的最小值为$8$。