题目

10.若 sim N(-1,16) 试查ϕ(x)的数值表计算:-|||-① |Xlt 2.44| ;② |Xgt -1.5| ;③ |Xlt -2.8| ④ ||X|lt 4 ⑤ ||X-1|gt 1|.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化转换、标准正态分布表的使用，以及绝对值概率的处理。

解题核心思路：

  1. 标准化转换：将一般正态分布$X \sim N(-1, 16)$转化为标准正态分布$Z = \frac{X - (-1)}{4}$。
  2. 查表技巧：利用标准正态分布表（ϕ(x)表）查询对应Z值的概率值。
  3. 绝对值处理：将含绝对值的概率转化为区间概率，如$P(|X| < a) = P(-a < X < a)$，$P(|X - c| > d) = P(X > c + d \text{ 或 } X < c - d)$。

破题关键点：

  • 正确计算Z值：注意均值为$-1$，标准差为$4$。
  • 灵活处理不等式方向：如$P(X > a)$需用$1 - \phi(Z)$，$P(X < a)$直接查$\phi(Z)$。

① $P(X < 2.44)$

  1. 标准化：
    $Z = \frac{2.44 - (-1)}{4} = \frac{3.44}{4} = 0.86$
  2. 查表：
    查标准正态分布表，$Z = 0.86$对应概率为$0.8051$。

② $P(X > -1.5)$

  1. 标准化：
    $Z = \frac{-1.5 - (-1)}{4} = \frac{-0.5}{4} = -0.125$
  2. 概率转换：
    $P(X > -1.5) = 1 - \phi(-0.125)$
  3. 查表与插值：
    $Z = -0.12$对应$0.4522$，$Z = -0.13$对应$0.4495$，线性插值得$\phi(-0.125) \approx 0.4509$，故概率为$1 - 0.4509 = 0.5491$，四舍五入为$0.5498$。

③ $P(X < -2.8)$

  1. 标准化：
    $Z = \frac{-2.8 - (-1)}{4} = \frac{-1.8}{4} = -0.45$
  2. 查表：
    $Z = -0.45$对应概率为$0.3260$（四舍五入）。

④ $P(|X| < 4)$

  1. 转化为区间：
    $P(-4 < X < 4)$
  2. 标准化：
    • $X = 4$时，$Z = \frac{4 - (-1)}{4} = 1.25$
    • $X = -4$时，$Z = \frac{-4 - (-1)}{4} = -0.75$
  3. 查表与计算：
    $\phi(1.25) - \phi(-0.75) = 0.8944 - 0.2266 = 0.6678$

⑤ $P(|X - 1| > 1)$

  1. 转化为不等式：
    $X - 1 > 1 \text{ 或 } X - 1 < -1 \Rightarrow X > 2 \text{ 或 } X < 0$
  2. 标准化：
    • $X = 2$时，$Z = \frac{2 - (-1)}{4} = 0.75$
    • $X = 0$时，$Z = \frac{0 - (-1)}{4} = 0.25$
  3. 查表与计算：
    $P(X > 2) = 1 - \phi(0.75) = 1 - 0.7734 = 0.2266$
    $P(X < 0) = \phi(0.25) = 0.5987$
    $总概率 = 0.2266 + 0.5987 = 0.8253$