题目
4.5 设某门课程的一次统考中全体考生的成绩X(百分制)近似服从正态分布.已知全-|||-体考生平均成绩为75分,95分以上考生数占总考生数的2.3 %,求此次考试的不及格率(60-|||-分及以上为考试及格).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
已知全体考生平均成绩为75分，即$E(X) = \mu = 75$。95分以上考生数占总考生数的2.3%，即$P(X > 95) = 0.023$。根据正态分布的性质，$P(X > 95) = 1 - P(X \leq 95) = 0.023$，因此$P(X \leq 95) = 0.977$。利用标准正态分布表，可以找到$P(Z \leq z) = 0.977$对应的$z$值，即$z = 2.0$。因此，$95 = \mu + z\sigma = 75 + 2.0\sigma$，解得$\sigma = 10$。
步骤 2：计算不及格率
不及格率是指成绩低于60分的考生比例，即$P(X < 60)$。根据正态分布的性质，$P(X < 60) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} < \frac{60 - 75}{10}\right) = P(Z < -1.5)$。利用标准正态分布表，可以找到$P(Z < -1.5) = 0.0668$，即不及格率为6.68%。
已知全体考生平均成绩为75分，即$E(X) = \mu = 75$。95分以上考生数占总考生数的2.3%，即$P(X > 95) = 0.023$。根据正态分布的性质，$P(X > 95) = 1 - P(X \leq 95) = 0.023$，因此$P(X \leq 95) = 0.977$。利用标准正态分布表，可以找到$P(Z \leq z) = 0.977$对应的$z$值，即$z = 2.0$。因此，$95 = \mu + z\sigma = 75 + 2.0\sigma$，解得$\sigma = 10$。
步骤 2：计算不及格率
不及格率是指成绩低于60分的考生比例，即$P(X < 60)$。根据正态分布的性质，$P(X < 60) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} < \frac{60 - 75}{10}\right) = P(Z < -1.5)$。利用标准正态分布表，可以找到$P(Z < -1.5) = 0.0668$，即不及格率为6.68%。