题目
八、 已知A、B、C分别是m×s,s×t,s×n矩阵,R(A)=s,R(c)=t,且ABC=0,证明B=0
八、 已知A、B、C分别是m×s,s×t,s×n矩阵,R(A)=s,R(c)=t,且ABC=0,证明B=0
题目解答
答案
证明:
,所以BC的列向量均为AX=0的解.
而R(A)=s,为满秩,所以AX=0只有零解.
因此BC=0,所以
而
为满秩
也仅有零解
从而
.
解析
步骤 1：理解矩阵乘法和秩的性质
矩阵乘法ABC=0意味着矩阵A、B、C的乘积为零矩阵。矩阵A的秩R(A)=s，表示A的列向量组是线性无关的，且A的列空间的维数为s。矩阵C的秩R(C)=t，表示C的列向量组是线性无关的，且C的列空间的维数为t。
步骤 2：分析BC的列向量
由于ABC=0，可以推断出BC的列向量都是AX=0的解。因为A的秩为s，A的列向量组是线性无关的，所以AX=0只有零解。因此，BC的列向量必须是零向量，即BC=0。
步骤 3：利用转置矩阵的性质
由于BC=0，可以得到${C}^{T}{B}^{T}=0$。因为C的秩为t，C的列向量组是线性无关的，所以${C}^{T}X=0$只有零解。因此，${B}^{T}$必须是零矩阵，即B=0。
矩阵乘法ABC=0意味着矩阵A、B、C的乘积为零矩阵。矩阵A的秩R(A)=s，表示A的列向量组是线性无关的，且A的列空间的维数为s。矩阵C的秩R(C)=t，表示C的列向量组是线性无关的，且C的列空间的维数为t。
步骤 2：分析BC的列向量
由于ABC=0，可以推断出BC的列向量都是AX=0的解。因为A的秩为s，A的列向量组是线性无关的，所以AX=0只有零解。因此，BC的列向量必须是零向量，即BC=0。
步骤 3：利用转置矩阵的性质
由于BC=0，可以得到${C}^{T}{B}^{T}=0$。因为C的秩为t，C的列向量组是线性无关的，所以${C}^{T}X=0$只有零解。因此，${B}^{T}$必须是零矩阵，即B=0。