题目

3-4 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为 a_x和 a_y，自相关函数分别为R_(x)(tau)和R_(y)(tau)。试问两者之和的过程Z(t)=X(t)+Y(t)是否平稳?

3-4 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为$ a_x$和$ a_y$，自相关函数分别为$R_{x}(\tau)$和$R_{y}(\tau)$。试问两者之和的过程Z(t)=X(t)+Y(t)是否平稳?

题目解答

答案

设 $Z(t) = X(t) + Y(t)$，其中 $X(t)$ 和 $Y(t)$ 为统计独立的平稳随机过程，均值分别为 $a_x$ 和 $a_y$，自相关函数分别为 $R_X(\tau)$ 和 $R_Y(\tau)$。

  1. 均值计算：
    $E[Z(t)] = E[X(t) + Y(t)] = a_x + a_y$
    均值为常数，不依赖于 $t$。

  2. 自相关函数计算：
    $R_Z(\tau) = E[Z(t)Z(t+\tau)] = E[(X(t) + Y(t))(X(t+\tau) + Y(t+\tau))]$
    展开并利用独立性：
    $R_Z(\tau) = R_X(\tau) + R_Y(\tau) + 2a_x a_y$
    自相关函数仅依赖于时间差 $\tau$，不依赖于 $t$。

结论：$Z(t)$ 的均值和自相关函数均满足平稳过程的条件，故 $Z(t)$ 是平稳的。

$\boxed{\text{是}}$

解析

平稳随机过程的判断依据：

  1. 均值必须为常数，与时间$t$无关；
  2. 自相关函数仅与时间差$\tau$有关，与具体时间$t$无关。

解题核心思路：

  • 均值分析：利用平稳过程的线性性质，直接求和的均值；
  • 自相关函数分析：展开乘积项，结合统计独立性简化计算，验证是否仅依赖于$\tau$。

破题关键点：

  • 统计独立性保证交叉项的期望可分解为均值的乘积；
  • 自相关函数叠加：平稳过程的自相关函数相加后仍满足平稳性条件。

均值计算

$E[Z(t)] = E[X(t) + Y(t)] = E[X(t)] + E[Y(t)] = a_x + a_y$
均值为常数，与时间$t$无关。

自相关函数计算

$\begin{aligned}R_Z(\tau) &= E[Z(t)Z(t+\tau)] \\&= E[(X(t)+Y(t))(X(t+\tau)+Y(t+\tau))] \\&= E[X(t)X(t+\tau)] + E[X(t)Y(t+\tau)] + E[Y(t)X(t+\tau)] + E[Y(t)Y(t+\tau)]\end{aligned}$

利用统计独立性：

  • $E[X(t)Y(t+\tau)] = E[X(t)]E[Y(t+\tau)] = a_x a_y$（同理另一交叉项）；
  • $E[X(t)X(t+\tau)] = R_X(\tau)$，$E[Y(t)Y(t+\tau)] = R_Y(\tau)$。

最终结果：
$R_Z(\tau) = R_X(\tau) + R_Y(\tau) + 2a_x a_y$
自相关函数仅依赖于$\tau$，与$t$无关。