设 f(z) = xy^2 + ix^2y，则 f'(z) 是()A. y^2B. 2xyC. y^2 + i2xyD. 2xyi

本题考查复变函数可导性的判断及求导公式的应用。解题思路是先判断函数$f(z)$是否可导，若可导再根据求导公式计算$f^\prime(z)$。

1. 设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，对于给定的函数$f(z) = xy^2 + ix^2y$，可得$u(x,y)=xy^2$，$v(x,y)=x^2y$。
2. 计算$u(x,y)$和$v(x,y)$的偏导数：
   • 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$u(x,y)=xy^2$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，可得$u_x=\frac{\partial u}{\partial x}=y^2$。
   • 对$u(x,y)=xy^2$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，可得$u_y=\frac{\partial u}{\partial y}=2xy$。
   • 对$v(x,y)=x^2y$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，可得$v_x=\frac{\partial v}{\partial x}=2xy$。
   • 对$v(x,y)=x^2y$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，可得$v_y=\frac{\partial v}{\partial y}=x^2$。
3. 验证柯西 - 黎曼方程$u_x = v_y$且$u_y = -v_x$是否成立：
   • 由前面计算可知$u_x = y^2$，$v_y = x^2$，$u_y = 2xy$，$-v_x = -2xy$。
   • 当$x = 0$且$y = 0$时，$u_x = v_y = 0$且$u_y = -v_x = 0$，柯西 - 黎曼方程成立，所以函数$f(z)$仅在$z = 0$处可导。
4. 当函数$f(z)$在某点可导时，求导公式为$f^\prime(z)=u_x + iv_x$。
   • 把$u_x = y^2$，$v_x = 2xy$代入求导公式，可得$f^\prime(z)=y^2 + i2xy$。