题目
设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)是取自正态总体_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)的样本，样本方差为_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)，则统计量_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)服从A _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)分布B 正态分布C t分布D F分布
设
是取自正态总体
的样本，样本方差为
，则统计量
服从
A 
分布
B 正态分布
C t分布
D F分布
题目解答
答案
将统计量进行展开
由于
因此
即服从卡方分布，选A。
解析
步骤 1：定义样本方差
样本方差${S}^{2}$定义为：${S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\overline {X})^{2}$，其中$\overline {X}$是样本均值。
步骤 2：展开统计量
统计量$\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$可以展开为：$\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}=\dfrac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\overline {X})^{2}}{{\sigma }^{2}}$。
步骤 3：利用正态分布性质
由于$X_{i}$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，因此$X_{i}-\mu$服从$N(0,\sigma^{2})$。进一步，$\dfrac {X_{i}-\mu}{\sigma}$服从$N(0,1)$。
步骤 4：卡方分布的定义
卡方分布${x}^{2}(n-1)$定义为$n-1$个独立标准正态随机变量的平方和。因此，$\sum _{i=1}^{n}\left(\dfrac {X_{i}-\mu}{\sigma}\right)^{2}$服从${x}^{2}(n-1)$。
步骤 5：将样本均值代入
由于$\overline {X}$是样本均值，$\overline {X}-\mu$服从$N(0,\dfrac {\sigma^{2}}{n})$，因此$\dfrac {\overline {X}-\mu}{\dfrac {\sigma}{\sqrt {n}}}$服从$N(0,1)$。将$\overline {X}$代入统计量中，可以得到$\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}=\sum _{i=1}^{n}\left(\dfrac {X_{i}-\mu}{\sigma}\right)^{2}-\left(\dfrac {\overline {X}-\mu}{\dfrac {\sigma}{\sqrt {n}}}\right)^{2}$。
步骤 6：简化统计量
由于$\sum _{i=1}^{n}\left(\dfrac {X_{i}-\mu}{\sigma}\right)^{2}$服从${x}^{2}(n)$，而$\left(\dfrac {\overline {X}-\mu}{\dfrac {\sigma}{\sqrt {n}}}\right)^{2}$服从${x}^{2}(1)$，因此$\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$服从${x}^{2}(n-1)$。
样本方差${S}^{2}$定义为：${S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\overline {X})^{2}$，其中$\overline {X}$是样本均值。
步骤 2：展开统计量
统计量$\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$可以展开为：$\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}=\dfrac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\overline {X})^{2}}{{\sigma }^{2}}$。
步骤 3：利用正态分布性质
由于$X_{i}$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，因此$X_{i}-\mu$服从$N(0,\sigma^{2})$。进一步，$\dfrac {X_{i}-\mu}{\sigma}$服从$N(0,1)$。
步骤 4：卡方分布的定义
卡方分布${x}^{2}(n-1)$定义为$n-1$个独立标准正态随机变量的平方和。因此，$\sum _{i=1}^{n}\left(\dfrac {X_{i}-\mu}{\sigma}\right)^{2}$服从${x}^{2}(n-1)$。
步骤 5：将样本均值代入
由于$\overline {X}$是样本均值，$\overline {X}-\mu$服从$N(0,\dfrac {\sigma^{2}}{n})$，因此$\dfrac {\overline {X}-\mu}{\dfrac {\sigma}{\sqrt {n}}}$服从$N(0,1)$。将$\overline {X}$代入统计量中，可以得到$\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}=\sum _{i=1}^{n}\left(\dfrac {X_{i}-\mu}{\sigma}\right)^{2}-\left(\dfrac {\overline {X}-\mu}{\dfrac {\sigma}{\sqrt {n}}}\right)^{2}$。
步骤 6：简化统计量
由于$\sum _{i=1}^{n}\left(\dfrac {X_{i}-\mu}{\sigma}\right)^{2}$服从${x}^{2}(n)$，而$\left(\dfrac {\overline {X}-\mu}{\dfrac {\sigma}{\sqrt {n}}}\right)^{2}$服从${x}^{2}(1)$，因此$\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$服从${x}^{2}(n-1)$。