题目

一、单选题（共25题，100.0分）题型说明：选择题25.（单选题，4.0分）lim_(xto0)(e^5x-1)/(x)=( )A 5B 2C 1D 1/5

一、单选题（共25题，100.0分） 题型说明：选择题 25.（单选题，4.0分） $\lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{x}=( )$ A 5 B 2 C 1 D 1/5

题目解答

答案

本题考察极限的计算，可使用洛必达法则或等价无穷小替换。 方法一：洛必达法则。 原式为 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - 1}{x}$，分子分母均趋近于0，满足洛必达条件。对分子分母求导得： \[ \lim_{x \to 0} \frac{5e^{5x}}{1} = 5 \] 方法二：等价无穷小替换。 当 $x \to 0$ 时，$e^{5x} - 1 \sim 5x$，故： \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{5x}{x} = 5 \] 综上，极限值为5。 答案：A 5

解析

本题考查知识点为极限的计算，解题思路是可以使用洛必达法则或者等价无穷小替换来求解该极限。

  • 方法一：洛必达法则
    洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。当函数满足$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式时可以使用。
    对于$\lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{x}$，当$x\to0$时，分子$e^{5x}-1\to e^{5\times0}-1=1 - 1 = 0$，分母$x\to0$，满足$\frac{0}{0}$型未定式，可使用洛必达法则。
    根据求导公式$(e^{ax})^\prime = ae^{ax}$，$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，对分子分母分别求导：
    分子$(e^{5x}-1)^\prime=(e^{5x})^\prime-(1)^\prime = 5e^{5x}-0 = 5e^{5x}$；
    分母$(x)^\prime = 1$。
    则$\lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{5e^{5x}}{1}$，将$x = 0$代入$\frac{5e^{5x}}{1}$可得：$\frac{5e^{5\times0}}{1}=\frac{5\times1}{1}=5$。
  • 方法二：等价无穷小替换
    当$x\to0$时，有常见的等价无穷小关系$e^{ax}-1\sim ax$（$a$为常数）。
    在本题中，当$x\to0$时，$e^{5x}-1\sim 5x$，所以$\lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{5x}{x}$，约去分子分母的$x$，得到$\lim_{x\to0}5 = 5$。