题目

6.求下列函数的最大值、最小值;-|||-(2) =(x)^4-8(x)^2+2 -1leqslant xleqslant 3;

题目解答

答案

解析

本题考查函数在给定区间上的最值求解，解题思路是先求出函数的驻点，再将驻点以及区间端点代入函数，比较函数值大小，从而确定最大值和最小值。

  1. 求函数的驻点：
    已知函数$y = x^{4}-8x^{2}+2$，对其求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$y^\prime = 4x^{3}-16x = 4x(x - 2)(x + 2)$。
    令$y^\prime = 0$，即$4x(x - 2)(x + 2)=0$，解得$x_1 = -2$（舍去，因为不在给定区间$[-1,3]$内），$x_2 = 0$，$x_3 = 2$。
  2. 计算函数在驻点以及区间端点的值：
    • 当$x = -1$时，$y = (-1)^{4}-8\times (-1)^{2}+2 = 1 - 8 + 2 = -5$。
    • 当$x = 0$时，$y = 0^{4}-8\times 0^{2}+2 = 2$。
    • 当$x = 2$时，$y = 2^{4}-8\times 2^{2}+2 = 16 - 32 + 2 = -14$。
    • 当$x部分要求中提到的“x = 3”时，\(y = 3^{4}-8\times 3^{2}+2 = 81 - 72 + 2 = 11$。
  3. 比较函数值大小：
    比较$y|_{x = -1} = -5$，$y|_{x = 0} = 2$，$y|_{x = 2} = -14$，$y|_{x = 3} = 11$的大小，可得函数的最大值为$y|_{x = 3} = 11$，最小值为$y|_{x = 2} = -14$。