17.设函数-|||-f(x)= ) (x)^2, ax+b,xgt 1 .-|||-为了使函数f(x)在 x=1 处连续且可导,a、b应取什么值?

本题考查分段函数在分段点处的连续性与可导性，解题思路是先根据函数在某点连续的定义求出$a$、$b$的一个关系式，再根据函数在某点可导的定义求出$a$的值，最后代入关系式求出$b$的值。

步骤一：根据函数在$x = 1$处连续的定义求$a$、$b$的关系

函数$f(x)$在$x = 1$处连续，则$\lim\limits_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x)=f(1)$。

• 计算$\lim\limits_{x \to 1^{-}}f(x)$：
  当$x\to 1^{-}$时，$f(x)=x^2$，所以$\lim\limits_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{-}}x^2 = 1^2 = 1$。
• 计算$\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x)$：
  当$x\to 1^{+}$时，$f(x)=ax + b$，所以$\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(ax + b)=a + b$。
• 计算$f(1)$：
  当$x = 1$时，$f(x)=x^2$，所以$f(1)=1^2 = 1$。

由$\lim\limits_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x)=f(1)$可得$a + b = 1$ ①。

步骤二：根据函数在$x = 1$处可导的定义求$a$的值

函数$f(x)$在$x = 1$处可导，则$f_{-}'(1)=f_{+}'(1)$。

• 计算$f_{-}'(1)$：
  $f_{-}'(1)=\lim\limits_{x \to 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}=\lim\limits_{x \to 1^{-}}\frac{x^2 - 1}{x - 1}=\lim\limits_{x \to 1^{-}}\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(x + 1)= 2$。
• 计算$f_{+}'(1)$：
  $f_{+}'(1)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}=\lim\limits_{x \to 1^{+}}\frac{ax + b - 1}{x - 1}$，将①式$b = 1 - a$代入可得：
  $f_{+}'(1)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}\frac{ax + 1 - a - 1}{x - 1}=\lim\limits_{x \to 1^{+}}\frac{a(x - 1)}{x - 1}= a$。

由$f_{-}'(1)=f_{+}'(1)$可得$a = 2$。

步骤三：将$a$的值代入①式求$b$的值

把$a = 2$代入①式$a + b = 1$，可得$2 + b = 1$，解得$b = 1 - 2 = -1$。