15. (3.0分) 利用参数方程法计算积分： 设C表示从1到i的直线段，则积分intlimits_(c)zdz=____.A. 1B. -1C. iD. 0

本题考查利用参数方程法计算复变函数的积分，关键是将积分路径参数化，再代入积分表达式计算。

步骤1：参数化积分路径C

积分路径C是从点$1$到点$i$的直线段。直线段的参数方程可设为：
$z(t) = x(t) + iy(t)$
其中$t$从$0$到$1$，起点$t=0$时$z(0)=1$，终点$t=1$时$z(1)=i$。

直线段的参数方程可写为：
$z(t) = 1 + t(i - 1),\quad t\in[0,1]$
（原理：从起点$1$出发，沿方向向量$i - 1$匀速移动，$t=1$时到达终点$i$。）

步骤2：计算$dz/dt$

对$z(t)$求导：
$\frac{dz}{dt} = i - 1$
（导数为常数，因直线段方向不变。）

步骤3：代入积分公式计算

复变函数积分公式为：
$\int_C zdz = \int_{t=0}^{t=1} z(t) \cdot \frac{dz}{dt} dt$

代入$z(t)=1 + t(i - 1)$和$\frac{dz}{dt}=i - 1$：
$\int_0^1 \left[1 + t(i - 1)\right] \cdot (i - 1) dt$

步骤4：展开并积分

先展开被积函数：
$(i - 1) + t(i - 1)^2$

计算$(i - 1)^2 = i^2 - 2i + 1 = -1 - 2i + 1 = -2i$，故被积函数为：
$(i - 1) - 2it$

积分得：
$\int_0^1 \left[(i - 1) - 2it\right] dt = (i - 1)\int_0^1 dt - 2i\int_0^1 t dt$

计算积分：
$(i - 1)(1 - 0) - 2i\left(\frac{1}{2} - 0\right) = (i - 1) - i = -1$