题目
[单选题]如果随机变量X与Y不相关,则下列成立的是( )。A. E(XY) =0 B. X与Y相互独立C. E(XY)=E(X)E(Y)D. P(XY=0) =0
[单选题]如果随机变量X与Y不相关,则下列成立的是( )。
A. E(XY) =0
B. X与Y相互独立
C. E(XY)=E(X)E(Y)
D. P{XY=0} =0
题目解答
答案
如果随机变量X与Y不相关，那么根据定义，我们有E(XY)=E(X)E(Y)。所以，选项C是正确的。
需要注意的是，不相关并不意味着相互独立，所以选项B是错误的。另外，不相关并不能推出E(XY) =0或P\{XY=0\} =0，所以选项A和D也是错误的。
所以，答案是C。
解析
步骤 1：理解不相关定义
随机变量X与Y不相关，意味着它们的协方差为0，即Cov(X,Y) = 0。根据协方差的定义，Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)。因此，如果Cov(X,Y) = 0，那么E(XY) = E(X)E(Y)。
步骤 2：分析选项
A. E(XY) = 0：不相关并不意味着E(XY) = 0，除非X和Y的期望值为0。
B. X与Y相互独立：不相关并不意味着相互独立，只有在X和Y都服从正态分布时，不相关才意味着相互独立。
C. E(XY) = E(X)E(Y)：这是不相关的定义，所以这个选项是正确的。
D. P{XY=0} = 0：不相关并不意味着P{XY=0} = 0，这取决于X和Y的分布。
随机变量X与Y不相关，意味着它们的协方差为0，即Cov(X,Y) = 0。根据协方差的定义，Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)。因此，如果Cov(X,Y) = 0，那么E(XY) = E(X)E(Y)。
步骤 2：分析选项
A. E(XY) = 0：不相关并不意味着E(XY) = 0，除非X和Y的期望值为0。
B. X与Y相互独立：不相关并不意味着相互独立，只有在X和Y都服从正态分布时，不相关才意味着相互独立。
C. E(XY) = E(X)E(Y)：这是不相关的定义，所以这个选项是正确的。
D. P{XY=0} = 0：不相关并不意味着P{XY=0} = 0，这取决于X和Y的分布。