64.(填空题，2.0分)设总体X的分布为p(lambda)，其中lambda是未知参数，X₁,X₂,...Xn为来自总体X的样本，参数lambda的极大似然估计量为()。

本题考查极大似然估计的知识。解题思路是先根据总体的分布写出似然函数，再对似然函数取对数，然后求对数似然函数关于未知参数的导数，令导数为零，最后解出未知参数的估计值。

1. 写出似然函数：
   已知总体$X$服从泊松分布$P(\lambda)$，其概率质量函数为$P(X = x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!}$，$x = 0,1,2,\cdots$。
   因为$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自总体$X$的样本，且样本中的各个样本点相互独立，所以似然函数$L(\lambda)$为各个样本点概率质量函数的乘积，即：
   $L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}P(X_i = x_i)=\prod_{i = 1}^{n}\frac{e^{-\lambda}\lambda^{X_i}}{X_i!}=\frac{e^{-n\lambda}\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}X_i}}{\prod_{i = 1}^{n}X_i!}$
2. 取对数似然函数：
   为了方便求导，对似然函数$L(\lambda)$取自然对数，得到对数似然函数$\ln L(\lambda)$：
   $\ln L(\lambda)=\ln\left(\frac{e^{-n\lambda}\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}X_i}}{\prod_{i = 1}^{n}X_i!}\right)$
   根据对数的运算法则$\ln(ab)=\ln a+\ln b$，$\ln\frac{a}{b}=\ln a - \ln b$，可得：
   $\ln L(\lambda)=\ln(e^{-n\lambda})+\ln(\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}X_i})-\ln(\prod_{i = 1}^{n}X_i!)$
   再根据对数的运算法则$\ln a^b = b\ln a$，进一步化简为：
   $\ln L(\lambda)=-n\lambda+\left(\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)\ln\lambda-\sum_{i = 1}^{n}\ln(X_i!)$
3. 求导并令导数为零：
   对对数似然函数$\ln L(\lambda)$关于$\lambda$求导：
   $\frac{d}{d\lambda}\ln L(\lambda)=\frac{d}{d\lambda}\left(-n\lambda+\left(\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)\ln\lambda-\sum_{i = 1}^{n}\ln(X_i!)\right)$
   根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得：
   $\frac{d}{d\lambda}\ln L(\lambda)=-n+\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}X_i$
   令$\frac{d}{d\lambda}\ln L(\lambda)=0$，即：
   $-n+\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}X_i = 0$
4. 解出未知参数的估计值：
   由$-n+\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}X_i = 0$，移项可得：
   $\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}X_i = n$
   两边同时乘以$\lambda$，再除以$n$，得到：
   $\lambda=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i=\bar{X}$
   所以参数$\lambda$的极大似然估计量为$\bar{X}$。