25.（2.0分）设A为n阶方阵，A^*为A的伴随矩阵，若r(A)=n-1，则r(A^*)=1.A. 对B. 错

本题考查线性代数中矩阵的秩以及伴随矩阵的性质。解题的关键思路是利用伴随矩阵与原矩阵的关系式$AA^{*}=|A|E$，结合矩阵秩与行列式的关系以及齐次线性方程组解的结构理论来确定伴随矩阵的秩。

1. 首先明确伴随矩阵的基本性质：对于任意$n$阶方阵$A$，其伴随矩阵$A^{*}$满足$AA^{*}=A^{*}A = |A|E$，其中$E$是$n$阶单位矩阵，$|A|$是矩阵$A$的行列式。
2. 然后分析$|A|$的值：已知$r(A)=n - 1$，根据矩阵秩的性质，当矩阵的秩$r(A)\lt{}n$时，矩阵$A$不是满秩矩阵，所以矩阵$A$的行列式$|A| = 0$。
3. 接着推导$A$与$A^{*}$的关系：将$|A| = 0$代入$AA^{*}=|A|E$中，得到$AA^{*}=0$。这表明伴随矩阵$A^{*}$的每一列都是齐次线性方程组$Ax = 0$的解。
4. 再确定$A^{*}$的秩：根据线性方程组解的结构理论，齐次方程组$Ax = 0$的基础解系所含向量的个数（即解空间的维数）为$n - r(A)$。已知$r(A)=n - 1$，则解空间的维数为$n-(n - 1)=1$，这意味着$Ax = 0$的所有解都可以由一个非零向量线性表示。
   • 因为$r(A)=n - 1$，说明$A$中至少有一个$n - 1$阶子式不为零，而伴随矩阵$A^{*}$的元素正是由这些$n - 1$阶子式构成的，所以$A^{*}$不是零矩阵，即$A^{*}$中至少有一列是非零向量。
   • 由于$A^{*}$的所有列向量都位于一个一维的解空间中，所以$A^{*}$的所有列向量都是线性相关的，且最多只有一个线性无关的列向量。根据矩阵秩的定义，矩阵的秩等于其列向量组的极大线性无关组所含向量的个数，因此矩阵$A^{*}$的秩$r(A^{*}) = 1$。