1、(10分)某工厂生产了一批螺丝钉，次品率为5%，现检查1000只螺丝钉，求次品数在40到60之间的概率。

考查要点：本题主要考查二项分布的正态近似及中心极限定理的应用，需要掌握正态分布的标准化转换和标准正态分布表的使用。

解题核心思路：

1. 识别分布类型：次品数服从二项分布$B(n=1000, p=0.05)$。
2. 应用中心极限定理：当$n$较大时，二项分布可用正态分布近似，计算期望和方差。
3. 标准化转换：将原问题转化为标准正态分布的概率计算。
4. 查表求概率：利用标准正态分布表计算区间概率。

破题关键点：

• 正确计算期望和方差：$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。
• 合理选择近似条件：验证$n$足够大且$np$、$n(1-p)$均满足正态近似条件。
• 准确进行标准化：将区间端点转换为标准正态变量$Z$，并查表计算概率差。

设次品数$X$服从二项分布$B(1000, 0.05)$，则：

1. 计算期望与方差：
   $E(X) = np = 1000 \times 0.05 = 50$
   $D(X) = np(1-p) = 1000 \times 0.05 \times 0.95 = 47.5$

2. 应用中心极限定理：
   当$n$较大时，$X$近似服从正态分布$N(50, 47.5)$。

3. 标准化转换：
   标准差$\sigma = \sqrt{47.5} \approx 6.892$，标准化得：
   $Z = \frac{X - 50}{\sqrt{47.5}}$

   • 当$X=40$时，$Z = \frac{40 - 50}{6.892} \approx -1.45$
   • 当$X=60$时，$Z = \frac{60 - 50}{6.892} \approx 1.45$

4. 查标准正态分布表：

   • $P(Z \leq 1.45) \approx 0.9265$
   • $P(Z \leq -1.45) \approx 0.0735$
   • 区间概率为：
     $P(-1.45 \leq Z \leq 1.45) = 0.9265 - 0.0735 = 0.8530$