题目
某大学的一家奶茶店记录了过去3年的营业额，每天营业额的均值为2600元，标准差为500元。由于在五一劳动节、古尔邦节等节日的营业额偏高，所以每日营业额的总体分布是右偏的。 假设从这3年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（）。A. 分布形状未知，均值为260元，标准差为50元B. 正态分布，均值为2600元，标准差为50元C. 右偏，均值为260元，标准差为50元D. 正态分布，均值为2600元，标准差为500元
某大学的一家奶茶店记录了过去3年的营业额，每天营业额的均值为2600元，标准差为500元。由于在五一劳动节、古尔邦节等节日的营业额偏高，所以每日营业额的总体分布是右偏的。 假设从这3年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（）。
A. 分布形状未知，均值为260元，标准差为50元
B. 正态分布，均值为2600元，标准差为50元
C. 右偏，均值为260元，标准差为50元
D. 正态分布，均值为2600元，标准差为500元
题目解答
答案
B. 正态分布，均值为2600元，标准差为50元
解析
步骤 1：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布将接近正态分布，无论总体分布如何。在这个问题中，样本量为100，足够大，因此样本均值的分布将接近正态分布。
步骤 2：计算样本均值的期望值
样本均值的期望值等于总体均值。因此，样本均值的期望值为2600元。
步骤 3：计算样本均值的标准差
样本均值的标准差（标准误差）由总体标准差除以样本大小的平方根给出。因此，样本均值的标准差为：
\[ \frac{500}{\sqrt{100}} = \frac{500}{10} = 50 \text{元} \]
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布将接近正态分布，无论总体分布如何。在这个问题中，样本量为100，足够大，因此样本均值的分布将接近正态分布。
步骤 2：计算样本均值的期望值
样本均值的期望值等于总体均值。因此，样本均值的期望值为2600元。
步骤 3：计算样本均值的标准差
样本均值的标准差（标准误差）由总体标准差除以样本大小的平方根给出。因此，样本均值的标准差为：
\[ \frac{500}{\sqrt{100}} = \frac{500}{10} = 50 \text{元} \]