5、已知总体X的密度函数为varphi(x,theta)=}theta e^-theta x&xgeqslant0 (theta>0)0&x<0，求参数theta的最大（也称极大）似然估计值().

本题考查参数的最大似然估计的知识。解题思路如下：

1. 首先根据总体的密度函数写出似然函数。对于总体$X$的样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$，似然函数$L(\theta)$是样本的联合概率密度函数，由于样本相互独立，所以$L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}\varphi(x_i,\theta)$。
2. 然后对似然函数取对数，得到对数似然函数$\ell(\theta)$。取对数的目的是为了方便后续求导计算，因为对数函数可以将乘积运算转化为加法运算。
3. 接着对对数似然函数求导，并令导数为$0$，解出$\theta$的值。这是因为对数似然函数在最大值点处的导数为$0$，通过求解这个方程可以得到可能的最大值点。
4. 最后验证该点是否为最大值点，通常可以通过求二阶导数，若二阶导数小于$0$，则该点为最大值点。

下面进行详细的计算：

1. 求似然函数$L(\theta)$：
   已知总体$X$的密度函数为$\varphi(x,\theta)=\begin{cases}\theta e^{-\theta x}&x\geqslant0\quad(\theta>0)\\0&x<0\end{cases}$，对于样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$，似然函数为：
   $L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}\varphi(x_i,\theta)=\prod_{i = 1}^{n}\theta e^{-\theta x_i}=\theta^n e^{-\theta\sum_{i = 1}^{n}x_i}$
   这里假设$x_i\geqslant0$（$i = 1,2,\cdots,n$），若存在$x_j<0$，则$\varphi(x_j,\theta)=0$，那么$L(\theta)=0$，显然不是最大值，所以只考虑$x_i\geqslant0$的情况。
2. 求对数似然函数$\ell(\theta)$：
   对$L(\theta)$取自然对数，可得：
   $\ell(\theta)=\ln L(\theta)=\ln(\theta^n e^{-\theta\sum_{i = 1}^{n}x_i})$
   根据对数的运算法则$\ln(ab)=\ln a+\ln b$和$\ln a^b = b\ln a$，则有：
   $\ell(\theta)=n\ln\theta-\theta\sum_{i = 1}^{n}x_i$
3. 求$\ell(\theta)$的导数并令其为$0$：
   对$\ell(\theta)$关于$\theta$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$和$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得：
   $\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=\frac{n}{\theta}-\sum_{i = 1}^{n}x_i$
   令$\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=0$，即：
   $\frac{n}{\theta}-\sum_{i = 1}^{n}x_i = 0$
   移项可得：
   $\frac{n}{\theta}=\sum_{i = 1}^{n}x_i$
   解得：
   $\theta=\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}x_i}=\frac{1}{\overline{x}}$
   其中$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$是样本均值。
4. 验证$\theta=\frac{1}{\overline{x}}$是最大值点：
   对$\ell(\theta)$求二阶导数，可得：
   $\frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2}=-\frac{n}{\theta^2}$
   当$\theta=\frac{1}{\overline{x}}$时，$\frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2}=-n\overline{x}^2<0$，所以$\theta=\frac{1}{\overline{x}}$是对数似然函数$\ell(\theta)$的最大值点，也是似然函数$L(\theta)$的最大值点。