题目
3.设总体Xsim N(mu,sigma^2)，x_(1),x_(2),...,x_(n),x_(n+1)为其样本，记overline(x)=(1)/(n)sum_(i=1)^nx_(i)，s^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(x_(i)-overline(x))^2，求证：sqrt((n)/(n+1))(x_(n+1)-overline(x))/(s)sim t(n-1).
3.设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},x_{n+1}$为其样本，记$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$，$s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$，求证：$\sqrt{\frac{n}{n+1}}\frac{x_{n+1}-\overline{x}}{s}\sim t(n-1)$.
题目解答
答案
1. **确定分布**：
$\overline{x} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，$x_{n+1} \sim N(\mu, \sigma^2)$，
故 $x_{n+1} - \overline{x} \sim N\left(0, \sigma^2 \frac{n+1}{n}\right)$。
2. **标准化**：
$\frac{x_{n+1} - \overline{x}}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \sim N(0, 1)$。
3. **样本方差分布**：
$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
4. **构造 $t$ 统计量**：
$\frac{\frac{x_{n+1} - \overline{x}}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}}}{\sqrt{\frac{s^2}{\sigma^2}}} = \sqrt{\frac{n}{n+1}} \frac{x_{n+1} - \overline{x}}{s} \sim t(n-1)$。
**答案**：
\[
\boxed{\sqrt{\frac{n}{n+1}} \frac{x_{n+1} - \overline{x}}{s} \sim t(n-1)}
\]
解析
步骤 1：确定分布
由于 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，而 $x_{n+1}$ 也服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$。因此，$x_{n+1} - \overline{x}$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^2 \frac{n+1}{n}\right)$。
步骤 2：标准化
将 $x_{n+1} - \overline{x}$ 标准化，得到 $\frac{x_{n+1} - \overline{x}}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \sim N(0, 1)$。
步骤 3：样本方差分布
样本方差 $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$ 服从 $\chi^2(n-1)$ 分布，即 $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
步骤 4：构造 $t$ 统计量
将标准化后的 $x_{n+1} - \overline{x}$ 除以样本标准差 $s$，得到 $\frac{\frac{x_{n+1} - \overline{x}}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}}}{\sqrt{\frac{s^2}{\sigma^2}}} = \sqrt{\frac{n}{n+1}} \frac{x_{n+1} - \overline{x}}{s}$。根据 $t$ 分布的定义，该统计量服从 $t(n-1)$ 分布。
由于 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，而 $x_{n+1}$ 也服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$。因此，$x_{n+1} - \overline{x}$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^2 \frac{n+1}{n}\right)$。
步骤 2：标准化
将 $x_{n+1} - \overline{x}$ 标准化，得到 $\frac{x_{n+1} - \overline{x}}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \sim N(0, 1)$。
步骤 3：样本方差分布
样本方差 $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$ 服从 $\chi^2(n-1)$ 分布，即 $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
步骤 4：构造 $t$ 统计量
将标准化后的 $x_{n+1} - \overline{x}$ 除以样本标准差 $s$，得到 $\frac{\frac{x_{n+1} - \overline{x}}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}}}{\sqrt{\frac{s^2}{\sigma^2}}} = \sqrt{\frac{n}{n+1}} \frac{x_{n+1} - \overline{x}}{s}$。根据 $t$ 分布的定义，该统计量服从 $t(n-1)$ 分布。