16、设活塞的直径(以cm计)Xsim N(22.40,0.03^2)，汽缸的直径Ysim N(22.50,0.04^2)，X与Y相互独立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能装入汽缸的概率.Φ(2)=0.97725

本题考查正态分布的性质及概率计算，核心是通过构造新的随机变量将问题转化为标准正态分布的概率求解。

步骤1：明确问题与随机变量构造

活塞能装入汽缸的条件是 活塞直径小于汽缸直径，即 $X < Y$，等价于 $X - Y < 0项得 \(Z = X - Y < 0$。因此需计算 $P(Z < 0)$，其中 $Z = X - Y$。

步骤2：确定$Z$的分布

已知 $X \sim N(22.40, 0.03^2)$，$Y \sim N(22.50, 0.04^2)\，且\(X$与$Y$相互独立。根据正态分布的性质：

• 两个独立正态变量的线性组合仍为正态分布，即 $Z = X - Y \sim N(\mu_Z, \sigma_Z^2)$；
• 均值：$\mu_Z = E(X) - E(Y) = 22.40 - 22.50 = -0.10$；
• 方差：$\sigma_Z^2 = D(X) + D(Y) = 0.03^2 + 0.04^2 = 0.0009 + 0.0016 = 0.0025$，故标准差 $\sigma_Z = 0.05$。

因此，$Z \sim N(-0.10, 0.05^2)$。

步骤3：标准化与概率计算

将$Z$标准化为标准正态变量$U \sim N(0,1)$：
$U = \frac{Z - \mu_Z}{\sigma_Z} = \frac{Z + 0.10}{0.05}$

则：
$P(Z < 0) = P\left(\frac{Z + 0.10}{0.05} < \frac{0 + 0.10}{0.05}\right) = P(U < 2)$

已知$\Phi(2) = 0.97725$（标准正态分布在2处的累积概率），故$P(Z < 0) = 0.97725$。