已知当 x to 0 时, 2x cos x^4 与 ax^a-1 时等价无穷小, 则 a= ( )A. 1B. 2C. 3D. 4

我们已知：当 $ x \to 0 $ 时，函数 $ 2x \cos x^4 $ 与 $ ax^{a-1} $ 是等价无穷小，要求求出 $ a $ 的值。

第一步：理解“等价无穷小”的含义

两个函数 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 在 $ x \to 0 $ 时是等价无穷小，意味着：

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$

题目中给出：

• $ f(x) = 2x \cos x^4 $
• $ g(x) = a x^{a-1} $

所以有：

$\lim_{x \to 0} \frac{2x \cos x^4}{a x^{a-1}} = 1$

第二步：化简极限表达式

$\frac{2x \cos x^4}{a x^{a-1}} = \frac{2}{a} \cdot \frac{x}{x^{a-1}} \cdot \cos x^4 = \frac{2}{a} \cdot x^{1 - (a - 1)} \cdot \cos x^4 = \frac{2}{a} \cdot x^{2 - a} \cdot \cos x^4$

所以极限变为：

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{a} \cdot x^{2 - a} \cdot \cos x^4 \right) = 1$

第三步：分析极限行为

当 $ x \to 0 $ 时：

• $ \cos x^4 \to \cos 0 = 1 $，所以 $ \cos x^4 \to 1 $
• 因此，极限主要由 $ x^{2 - a} $ 决定

所以整个极限为：

$\frac{2}{a} \cdot \lim_{x \to 0} x^{2 - a} \cdot \cos x^4 = \frac{2}{a} \cdot \lim_{x \to 0} x^{2 - a} \cdot 1 = \frac{2}{a} \cdot \lim_{x \to 0} x^{2 - a}$

我们希望这个极限等于 1。

第四步：讨论 $ \lim_{x \to 0} x^{2 - a} $

我们分析指数 $ 2 - a $ 的取值：

• 如果 $ 2 - a > 0 $，即 $ a < 2 $，则 $ x^{2 - a} \to 0 $，极限为 0 → 不满足
• 如果 $ 2 - a < 0 $，即 $ a > 2 $，则 $ x^{2 - a} \to \infty $，极限为无穷大 → 不满足
• 如果 $ 2 - a = 0 $，即 $ a = 2 $，则 $ x^{2 - a} = x^0 = 1 $，极限为：

$\frac{2}{a} \cdot 1 = \frac{2}{2} = 1$

满足条件！

第五步：验证 $ a = 2 $ 是否成立

代入 $ a = 2 $：

• $ ax^{a-1} = 2x^{2-1} = 2x $
• $ 2x \cos x^4 $ 与 $ 2x $ 的比值为：

$\frac{2x \cos x^4}{2x} = \cos x^4 \to 1 \quad (x \to 0)$

所以确实是等价无穷小。

最终答案：

$\boxed{B. \ 2}$