已知 lim_(x to 0) (sin x)/(x) = 1，求 lim_(x to 0) (x)/(tan x) 的值。A. 0B. 1C. 2D. infty

考查要点：本题主要考查极限的基本性质及三角函数的等价无穷小替换。关键在于将所求极限转化为已知极限的形式，并利用三角函数的恒等变形进行化简。

解题核心思路：

1. 利用三角函数恒等式：将$\tan x$表示为$\sin x / \cos x$，从而将原式转化为与$\sin x$相关的表达式。
2. 拆分极限：将原式拆分为两个部分的乘积，分别求极限后相乘。
3. 应用已知极限：利用已知条件$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，结合倒数关系和$\cos x$在$x=0$处的连续性求解。

破题关键点：

• 识别$\tan x$的表达式，将其拆分为$\sin x$和$\cos x$的组合。
• 灵活运用极限的乘积法则，将复杂极限拆分为简单极限的组合。

步骤1：将$\tan x$用$\sin x$和$\cos x$表示
由三角函数恒等式$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，原式可变形为：
$\frac{x}{\tan x} = \frac{x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{x \cos x}{\sin x}.$

步骤2：拆分极限为两个部分的乘积
将分式拆分为两个部分的乘积：
$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x \right).$

步骤3：分别求两个部分的极限

1. 求$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}$
   根据已知条件$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，取倒数得：
   $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{1} = 1.$

2. 求$\lim_{x \to 0} \cos x$
   直接代入$x=0$得：
   $\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1.$

步骤4：合并两个极限的结果
根据极限的乘积法则：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x \right) = \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \cos x \right) = 1 \cdot 1 = 1.$