题目
用洛必达法则求下列极限： （1）lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+x))(x)； （2）lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+x))(x); （3）lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+x))(x); （4）lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+x))(x); （5）lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+x))(x).
用洛必达法则求下列极限：
（1）
；
（2）
;
（3）
;
（4）
;
（5）
.
题目解答
答案
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解析
步骤 1：求解极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+x)}{x}$
使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x+1}$，再求极限。
步骤 2：求解极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{\sin x}$
使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+{e}^{-x}}{\cos x}$，再求极限。
步骤 3：求解极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-x}{x-\sin x}$
使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\sec }^{2}x-1}{1-\cos x}$，再求极限。
步骤 4：求解极限 $\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {\sin 3x}{\tan 5x}$
使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {3\cos 3x}{5{\sec }^{2}x}$，再求极限。
步骤 5：求解极限 $\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\ln \sin x}{{(\pi -2x)}^{2}}$
使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\dfrac {\cos x}{\sin x}}{8x-4\pi }$，再求极限。
使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x+1}$，再求极限。
步骤 2：求解极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{\sin x}$
使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+{e}^{-x}}{\cos x}$，再求极限。
步骤 3：求解极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-x}{x-\sin x}$
使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\sec }^{2}x-1}{1-\cos x}$，再求极限。
步骤 4：求解极限 $\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {\sin 3x}{\tan 5x}$
使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {3\cos 3x}{5{\sec }^{2}x}$，再求极限。
步骤 5：求解极限 $\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\ln \sin x}{{(\pi -2x)}^{2}}$
使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\dfrac {\cos x}{\sin x}}{8x-4\pi }$，再求极限。