题目
7.8 已知图示矩形截面梁某截面上的弯矩及剪力分别为 =10kNcdot m _(s)=120kN, 试-|||-绘出截面上1,2,34各点的单元体的应力状态,并求其主应力。-|||-50 1-|||-M-|||-2-|||-x-|||-8-|||-3-|||-4-|||-Fs-|||-题7.8图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定截面的几何参数
矩形截面的宽度为 $b=50mm$，高度为 $h=100mm$。截面的惯性矩 $I$ 可以通过公式 $I=\frac{bh^3}{12}$ 计算得到。将 $b=50mm$ 和 $h=100mm$ 代入公式，得到 $I=\frac{50\times100^3}{12}=4166666.67mm^4$。
步骤 2：计算各点的正应力
正应力 $\sigma$ 可以通过公式 $\sigma=\frac{My}{I}$ 计算得到，其中 $M$ 是弯矩，$y$ 是到中性轴的距离。对于1点，$y=0$，所以 $\sigma_1=0$。对于2点，$y=25mm$，所以 $\sigma_2=\frac{10\times10^6\times25}{4166666.67}=-60MPa$。对于3点，$y=50mm$，所以 $\sigma_3=\frac{10\times10^6\times50}{4166666.67}=-120MPa$。对于4点，$y=75mm$，所以 $\sigma_4=\frac{10\times10^6\times75}{4166666.67}=-180MPa$。
步骤 3：计算各点的剪应力
剪应力 $\tau$ 可以通过公式 $\tau=\frac{F_sS}{Ib}$ 计算得到，其中 $F_s$ 是剪力，$S$ 是截面的静矩。对于1点，$S=0$，所以 $\tau_1=0$。对于2点，$S=\frac{bh^2}{4}$，所以 $\tau_2=\frac{120\times10^3\times\frac{50\times100^2}{4}}{4166666.67\times50}=30MPa$。对于3点，$S=\frac{bh^2}{2}$，所以 $\tau_3=\frac{120\times10^3\times\frac{50\times100^2}{2}}{4166666.67\times50}=60MPa$。对于4点，$S=\frac{3bh^2}{4}$，所以 $\tau_4=\frac{120\times10^3\times\frac{3\times50\times100^2}{4}}{4166666.67\times50}=90MPa$。
步骤 4：确定各点的主应力
对于1点，$\sigma_1=0$，$\tau_1=0$，所以主应力为 ${\sigma }_{1}={\sigma }_{2}=0$ , ${\sigma }_{3}=-120MPa$。对于2点，$\sigma_2=-60MPa$，$\tau_2=30MPa$，所以主应力为 ${\sigma }_{1}=36MPa$ , ${\sigma }_{2}=0$ , ${\sigma }_{3}=-36MPa$。对于3点，$\sigma_3=-120MPa$，$\tau_3=60MPa$，所以主应力为 ${\sigma }_{1}=70.3MPa$ , ${\sigma }_{2}=0$ , ${\sigma }_{3}=-10.3MPa$。对于4点，$\sigma_4=-180MPa$，$\tau_4=90MPa$，所以主应力为 ${\sigma }_{1}=120MPa$ , ${\sigma }_{2}={\sigma }_{3}=0$。
矩形截面的宽度为 $b=50mm$，高度为 $h=100mm$。截面的惯性矩 $I$ 可以通过公式 $I=\frac{bh^3}{12}$ 计算得到。将 $b=50mm$ 和 $h=100mm$ 代入公式，得到 $I=\frac{50\times100^3}{12}=4166666.67mm^4$。
步骤 2：计算各点的正应力
正应力 $\sigma$ 可以通过公式 $\sigma=\frac{My}{I}$ 计算得到，其中 $M$ 是弯矩，$y$ 是到中性轴的距离。对于1点，$y=0$，所以 $\sigma_1=0$。对于2点，$y=25mm$，所以 $\sigma_2=\frac{10\times10^6\times25}{4166666.67}=-60MPa$。对于3点，$y=50mm$，所以 $\sigma_3=\frac{10\times10^6\times50}{4166666.67}=-120MPa$。对于4点，$y=75mm$，所以 $\sigma_4=\frac{10\times10^6\times75}{4166666.67}=-180MPa$。
步骤 3：计算各点的剪应力
剪应力 $\tau$ 可以通过公式 $\tau=\frac{F_sS}{Ib}$ 计算得到，其中 $F_s$ 是剪力，$S$ 是截面的静矩。对于1点，$S=0$，所以 $\tau_1=0$。对于2点，$S=\frac{bh^2}{4}$，所以 $\tau_2=\frac{120\times10^3\times\frac{50\times100^2}{4}}{4166666.67\times50}=30MPa$。对于3点，$S=\frac{bh^2}{2}$，所以 $\tau_3=\frac{120\times10^3\times\frac{50\times100^2}{2}}{4166666.67\times50}=60MPa$。对于4点，$S=\frac{3bh^2}{4}$，所以 $\tau_4=\frac{120\times10^3\times\frac{3\times50\times100^2}{4}}{4166666.67\times50}=90MPa$。
步骤 4：确定各点的主应力
对于1点，$\sigma_1=0$，$\tau_1=0$，所以主应力为 ${\sigma }_{1}={\sigma }_{2}=0$ , ${\sigma }_{3}=-120MPa$。对于2点，$\sigma_2=-60MPa$，$\tau_2=30MPa$，所以主应力为 ${\sigma }_{1}=36MPa$ , ${\sigma }_{2}=0$ , ${\sigma }_{3}=-36MPa$。对于3点，$\sigma_3=-120MPa$，$\tau_3=60MPa$，所以主应力为 ${\sigma }_{1}=70.3MPa$ , ${\sigma }_{2}=0$ , ${\sigma }_{3}=-10.3MPa$。对于4点，$\sigma_4=-180MPa$，$\tau_4=90MPa$，所以主应力为 ${\sigma }_{1}=120MPa$ , ${\sigma }_{2}={\sigma }_{3}=0$。