题目
7.设总体X~N(5,2²),从总体X中抽取一个容量为25的样本,overline(x)和s²分别为其样本均值和样本方差.求P(4.2<overline(x)<5.8,s²>6.07).
7.设总体X~N(5,2²),从总体X中抽取一个容量为25的样本,$\overline{x}$和s²分别为其样本均值和样本方差.求P(4.2<$\overline{x}$<5.8,s²>6.07).
题目解答
答案
1. **计算样本均值 $\overline{X}$ 落在 4.2 和 5.8 之间的概率：**
$\overline{X} \sim N(5, 0.16)$，标准化后 $Z = \frac{\overline{X} - 5}{0.4}$。
\[
P(4.2 < \overline{X} < 5.8) = P(-2 < Z < 2) \approx 0.9544
\]
2. **计算样本方差 $S^2$ 大于 6.07 的概率：**
利用卡方分布，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(24)$，得 $6S^2 \sim \chi^2(24)$。
\[
P(S^2 > 6.07) = P(6S^2 > 36.42) \approx P(\chi^2(24) > 36.415) \approx 0.05
\]
3. **计算联合概率（独立性）：**
\[
P(4.2 < \overline{X} < 5.8, S^2 > 6.07) \approx 0.9544 \times 0.05 \approx 0.04772
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
P(4.2 < \overline{X} < 5.8) \approx 0.9544 \\
P(S^2 > 6.07) \approx 0.05 \\
P(4.2 < \overline{X} < 5.8, S^2 > 6.07) \approx 0.04772
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值 $\overline{X}$ 落在 4.2 和 5.8 之间的概率
由于总体 $X \sim N(5, 2^2)$，样本容量为 25，因此样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N(5, \frac{2^2}{25}) = N(5, 0.16)$。标准化后，$Z = \frac{\overline{X} - 5}{0.4}$。因此，$P(4.2 < \overline{X} < 5.8) = P(-2 < Z < 2)$。根据标准正态分布表，$P(-2 < Z < 2) \approx 0.9544$。
步骤 2：计算样本方差 $S^2$ 大于 6.07 的概率
样本方差 $S^2$ 的分布为 $\chi^2$ 分布，自由度为 $n-1 = 24$。根据卡方分布的性质，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(24)$。因此，$6S^2 \sim \chi^2(24)$。所以，$P(S^2 > 6.07) = P(6S^2 > 36.42) \approx P(\chi^2(24) > 36.415) \approx 0.05$。
步骤 3：计算联合概率（独立性）
由于样本均值 $\overline{X}$ 和样本方差 $S^2$ 是独立的，因此联合概率为 $P(4.2 < \overline{X} < 5.8, S^2 > 6.07) = P(4.2 < \overline{X} < 5.8) \times P(S^2 > 6.07) \approx 0.9544 \times 0.05 \approx 0.04772$。
由于总体 $X \sim N(5, 2^2)$，样本容量为 25，因此样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N(5, \frac{2^2}{25}) = N(5, 0.16)$。标准化后，$Z = \frac{\overline{X} - 5}{0.4}$。因此，$P(4.2 < \overline{X} < 5.8) = P(-2 < Z < 2)$。根据标准正态分布表，$P(-2 < Z < 2) \approx 0.9544$。
步骤 2：计算样本方差 $S^2$ 大于 6.07 的概率
样本方差 $S^2$ 的分布为 $\chi^2$ 分布，自由度为 $n-1 = 24$。根据卡方分布的性质，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(24)$。因此，$6S^2 \sim \chi^2(24)$。所以，$P(S^2 > 6.07) = P(6S^2 > 36.42) \approx P(\chi^2(24) > 36.415) \approx 0.05$。
步骤 3：计算联合概率（独立性）
由于样本均值 $\overline{X}$ 和样本方差 $S^2$ 是独立的，因此联合概率为 $P(4.2 < \overline{X} < 5.8, S^2 > 6.07) = P(4.2 < \overline{X} < 5.8) \times P(S^2 > 6.07) \approx 0.9544 \times 0.05 \approx 0.04772$。