11.设 ((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n))(ngt 2) 为来自总-|||-体N(0,σ^2)的简单随机样本,其样本均值为-|||-X.记 _(i)=(X)_(i)-overline (X) ,i=1 ,2,···,n.(1)求Yi的-|||-方差D(Yi), i=1 ,2,···,n;(2)求Y1与Yn的-|||-协方差Cov(Y 1,Yn);(3)若 (({Y)_(1)+(Y)_(n))}^2 是-|||-σ^2的无偏估计量,求常数C.

题目考察知识

本题主要考察抽样分布、样本均值与样本方差的性质，以及随机变量的方差、协方差计算和无偏估计量的概念。

（1）求$D(Y_i)$

思路：$Y_i = X_i - \overline{X}$，其中$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k$是样本均值。需利用方差性质：$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\text{Cov}(X,Y)$，以及$X_i$与$\overline{X}$的协方差。

计算过程：
$\begin{align*}D(Y_i) &= D\left(X_i - \overline{X}\right) = D\left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k\right) \\&= D\left(\left(1 - \frac{1}{n}\right)X_i - \frac{1}{n}\sum_{k \neq i} X_k\right) \\&= \left(1 - \frac{1}{n}\right)^2 D(X_i) + \sum_{k \neq i} \left(\frac{1}{n}\right)^2 D(X_k) + 2 \cdot \text{交叉项}\end{align*}$
由于$X_k$独立，交叉项为0；$D(X_i)=D(X_k)=\sigma^2$，则：
$D(Y_i) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2 \sigma^2 + (n-1) \cdot \frac{1}{n^2} \sigma^2 = \frac{(n-1)^2 + (n-1)}{n^2} \sigma^2 = \frac{n-1}{n} \sigma^2$

（2）求$\text{Cov}(Y_1,Y_n)$

思路：协方差性质$\text{Cov}(A-B,C-D)=\text{Cov}(A,C)-\text{Cov}(A,D)-\text{Cov}(B,C)+\text{Cov}(B,D)$，利用$\text{Cov}(X_i,X_j)=0(i \neq j)$和$\text{Cov}(X_i,\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}$。

计算过程：
$\begin{align*}\text{Cov}(Y_1,Y_n) &= \text{Cov}(X_1 - \overline{X}, X_n - \overline{X}) \\&= \text{Cov}(X_1,X_n) - \text{Cov}(X_1,\overline{X}) - \text{Cov}(X_n,\overline{X}) + \text{Cov}(\overline{X},\overline{X}) \\&= 0 - \frac{\sigma^2}{n} - \frac{\sigma^2}{n} + \sigma^2 \cdot \frac{1}{n} \quad (\text{因}\text{Cov}(\overline{X},\overline{X})=D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}) \\&= -\frac{\sigma^2}{n}\end{align*}$

（3）求常数$C$使$C(Y_1+Y_n)^2$为$\sigma^2$的无偏估计

思路：无偏估计要求$E[C(Y_1+Y_n)^2]=\sigma^2$，需计算$E[(Y_1+Y_n)^2]=D(Y_1+Y_n)+[E(Y_1+Y_n)]^2$，利用$E(Y_i)=0$和方差性质。

计算过程：
$E(Y_1+Y_n)=E(Y_1)+E(Y_n)=0$
$D(Y_1+Y_n)=D(Y_1)+D(Y_n)+2\text{Cov}(Y_1,Y_n)=\frac{n-1}{n}\sigma^2 + \frac{n-1}{n}\sigma^2 + 2\left(-\frac{\sigma^2}{n}\right)=\frac{2(n-2)}{n}\sigma^2$
$E[(Y_1+Y_n)^2]=\frac{2(n-2)}{n}\sigma^2$
令$C \cdot \frac{2(n-2)}{n}\sigma^2 = \sigma^2$，解得$C=\frac{n}{2(n-2)}$。