题目
9.某厂生产的某种型号的电池,其使用寿命长期以来服从方差 (sigma )^2=5000(h)^2 的-|||-正态分布,现从一批这种型号的电池中随机取26只,测得其寿命的样本方差为 ^2=-|||-9200h^2.问这批电池的寿命的方差较以往有无显著变化( alpha =0.02 )?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定假设
我们首先设定原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$。原假设是这批电池的寿命方差与以往相同，即 ${\sigma}^{2}=5000{h}^{2}$。备择假设是这批电池的寿命方差与以往不同，即 ${\sigma}^{2} \neq 5000{h}^{2}$。
步骤 2：选择检验统计量
由于我们关注的是方差的变化，因此选择卡方检验统计量。卡方检验统计量的公式为：
$$
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}
$$
其中，$n$ 是样本容量，$s^2$ 是样本方差，$\sigma^2$ 是总体方差。
步骤 3：计算检验统计量
将给定的数值代入公式中计算卡方值：
$$
\chi^2 = \frac{(26-1) \times 9200}{5000} = \frac{25 \times 9200}{5000} = \frac{230000}{5000} = 46
$$
步骤 4：确定临界值
根据自由度 $df = n - 1 = 25$ 和显著性水平 $\alpha = 0.02$，查卡方分布表得到临界值。对于双侧检验，我们需要找到 $\chi^2_{\alpha/2}$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2}$。对于 $\alpha = 0.02$，$\alpha/2 = 0.01$，$1-\alpha/2 = 0.99$。查表得到 $\chi^2_{0.01,25} = 44.314$ 和 $\chi^2_{0.99,25} = 12.401$。
步骤 5：做出决策
比较计算得到的卡方值与临界值。如果计算的卡方值落在临界值之外，则拒绝原假设。在本例中，计算的卡方值为 46，大于 $\chi^2_{0.01,25} = 44.314$，因此拒绝原假设。
我们首先设定原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$。原假设是这批电池的寿命方差与以往相同，即 ${\sigma}^{2}=5000{h}^{2}$。备择假设是这批电池的寿命方差与以往不同，即 ${\sigma}^{2} \neq 5000{h}^{2}$。
步骤 2：选择检验统计量
由于我们关注的是方差的变化，因此选择卡方检验统计量。卡方检验统计量的公式为：
$$
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}
$$
其中，$n$ 是样本容量，$s^2$ 是样本方差，$\sigma^2$ 是总体方差。
步骤 3：计算检验统计量
将给定的数值代入公式中计算卡方值：
$$
\chi^2 = \frac{(26-1) \times 9200}{5000} = \frac{25 \times 9200}{5000} = \frac{230000}{5000} = 46
$$
步骤 4：确定临界值
根据自由度 $df = n - 1 = 25$ 和显著性水平 $\alpha = 0.02$，查卡方分布表得到临界值。对于双侧检验，我们需要找到 $\chi^2_{\alpha/2}$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2}$。对于 $\alpha = 0.02$，$\alpha/2 = 0.01$，$1-\alpha/2 = 0.99$。查表得到 $\chi^2_{0.01,25} = 44.314$ 和 $\chi^2_{0.99,25} = 12.401$。
步骤 5：做出决策
比较计算得到的卡方值与临界值。如果计算的卡方值落在临界值之外，则拒绝原假设。在本例中，计算的卡方值为 46，大于 $\chi^2_{0.01,25} = 44.314$，因此拒绝原假设。