题目
9.某人投篮命中率为40%.假定各次投篮是否命中相互独立.设X表示他首次投中时-|||-累计已投篮的次数.求X的分布律,并由此计算X取偶数的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定X的分布律
根据题意，X表示首次投中时累计已投篮的次数，且每次投篮是否命中相互独立，命中率为0.4。因此，X服从参数为0.4的几何分布。几何分布的分布律为$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$，其中$p$为每次投篮命中的概率，$k$为首次投中时累计已投篮的次数。将$p=0.4$代入，得到$P(X=k) = 0.6^{k-1} \times 0.4$，$k=1,2,3,...$。
步骤 2：计算X取偶数的概率
X取偶数的概率即为$P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)+...$。根据步骤1得到的分布律，可以将X取偶数的概率表示为$\sum_{k=0}^{\infty}0.4\times0.6^{2k+1}$。将$0.6^{2k+1}$表示为$0.6\times0.36^k$，得到$\sum_{k=0}^{\infty}0.4\times0.6\times0.36^k$。这是一个等比数列求和问题，其中首项$a=0.4\times0.6=0.24$，公比$q=0.36$。根据等比数列求和公式$S=\frac{a}{1-q}$，可以计算出X取偶数的概率为$\frac{0.24}{1-0.36}=0.375$。
根据题意，X表示首次投中时累计已投篮的次数，且每次投篮是否命中相互独立，命中率为0.4。因此，X服从参数为0.4的几何分布。几何分布的分布律为$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$，其中$p$为每次投篮命中的概率，$k$为首次投中时累计已投篮的次数。将$p=0.4$代入，得到$P(X=k) = 0.6^{k-1} \times 0.4$，$k=1,2,3,...$。
步骤 2：计算X取偶数的概率
X取偶数的概率即为$P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)+...$。根据步骤1得到的分布律，可以将X取偶数的概率表示为$\sum_{k=0}^{\infty}0.4\times0.6^{2k+1}$。将$0.6^{2k+1}$表示为$0.6\times0.36^k$，得到$\sum_{k=0}^{\infty}0.4\times0.6\times0.36^k$。这是一个等比数列求和问题，其中首项$a=0.4\times0.6=0.24$，公比$q=0.36$。根据等比数列求和公式$S=\frac{a}{1-q}$，可以计算出X取偶数的概率为$\frac{0.24}{1-0.36}=0.375$。