题目
例8 某公司有甲、乙、丙三位秘书,让他们把公司文件的45%,40%,15%进-|||-行归档,根据以往经验,他们工作中出现错误的概率分别为0.01,0.02,0.05.现发现-|||-有一份文件归错档,试问该错误最有可能是谁犯的?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设事件 ${A}_{1}=$ {文件由第1位秘书归档}, ${A}_{2}=$ {文件由第2位秘书归档}, ${A}_{3}=$ {文件由第3位秘书归档}, $B=\{ $ 文件归错档}。
步骤 2：计算先验概率
根据题意，有 $P({A}_{1})=0.45$ , $P({A}_{2})=0.4$ , $P({A}_{3})=0.15$。
步骤 3：计算条件概率
根据题意，有 $P(B|{A}_{1})=0.01$ , $P(B|{A}_{2})=0.02$ , $P(B|{A}_{3})=0.05$。
步骤 4：计算全概率
根据全概率公式，有 $P(B)=P(B|{A}_{1})P({A}_{1})+P(B|{A}_{2})P({A}_{2})+P(B|{A}_{3})P({A}_{3})$。
代入数值，得 $P(B)=0.01\times 0.45+0.02\times 0.4+0.05\times 0.15=0.02$。
步骤 5：计算后验概率
根据贝叶斯公式，甲、乙、丙犯错的后验概率分别为：
甲: $P({A}_{1}|B)=\dfrac {P(B|{A}_{1})P({A}_{1})}{P(B)}=\dfrac {0.01\times 0.45}{0.02}=0.225$。
乙: $P({A}_{2}|B)=\dfrac {P(B|{A}_{2})P({A}_{2})}{P(B)}=\dfrac {0.02\times 0.4}{0.02}=0.4$。
丙: $P({A}_{3}|B)=\dfrac {P(B|{A}_{3})P({A}_{3})}{P(B)}=\dfrac {0.05\times 0.15}{0.02}=0.375$。
步骤 6：比较后验概率
比较甲、乙、丙的后验概率，乙的后验概率最大，为0.4。
设事件 ${A}_{1}=$ {文件由第1位秘书归档}, ${A}_{2}=$ {文件由第2位秘书归档}, ${A}_{3}=$ {文件由第3位秘书归档}, $B=\{ $ 文件归错档}。
步骤 2：计算先验概率
根据题意，有 $P({A}_{1})=0.45$ , $P({A}_{2})=0.4$ , $P({A}_{3})=0.15$。
步骤 3：计算条件概率
根据题意，有 $P(B|{A}_{1})=0.01$ , $P(B|{A}_{2})=0.02$ , $P(B|{A}_{3})=0.05$。
步骤 4：计算全概率
根据全概率公式，有 $P(B)=P(B|{A}_{1})P({A}_{1})+P(B|{A}_{2})P({A}_{2})+P(B|{A}_{3})P({A}_{3})$。
代入数值，得 $P(B)=0.01\times 0.45+0.02\times 0.4+0.05\times 0.15=0.02$。
步骤 5：计算后验概率
根据贝叶斯公式，甲、乙、丙犯错的后验概率分别为：
甲: $P({A}_{1}|B)=\dfrac {P(B|{A}_{1})P({A}_{1})}{P(B)}=\dfrac {0.01\times 0.45}{0.02}=0.225$。
乙: $P({A}_{2}|B)=\dfrac {P(B|{A}_{2})P({A}_{2})}{P(B)}=\dfrac {0.02\times 0.4}{0.02}=0.4$。
丙: $P({A}_{3}|B)=\dfrac {P(B|{A}_{3})P({A}_{3})}{P(B)}=\dfrac {0.05\times 0.15}{0.02}=0.375$。
步骤 6：比较后验概率
比较甲、乙、丙的后验概率，乙的后验概率最大，为0.4。