1、设C为-i到i的有向线段，证明|int_(c)(x^2+i y^2)dz|leq2

本题主要考查复变函数沿曲线的积分计算以及积分估计公式的应用。解题思路有两种，一种是通过参数化曲线直接计算积分的值，再求其绝对值进行比较；另一种是利用积分估计公式$\left| \int_C f(z) \, dz \right| \leq M \cdot L$来证明不等式，其中$M$是被积函数$f(z)$在曲线$C$上的模的最大值，$L$是曲线$C$的长度。

方法一：参数化曲线直接计算积分

1. 参数化曲线$C$：
   已知$C$为从$-i$到$i$的有向线段，设其参数方程为$z(t)=(2t - 1)i$，其中$t\in[0,1]$。当$t = 0$时，$z(0)=-i$；当$t = 1$时，$z(1)=i$。
2. 确定被积函数在参数方程下的表达式：
   对于被积函数$f(z)=x^{2}+iy^{2}$，由于$z(t)=(2t - 1)i$，其实部$x = 0$，虚部$y = 2t - 1$，所以$f(z(t))=i(2t - 1)^{2}$。
3. 计算$dz$：
   对$z(t)=(2t - 1)i$求导，根据求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，这里$u = 2t - 1$，$v = i$，$u^\prime=2$，$v^\prime = 0$，可得$z^\prime(t)=2i$，即$dz = z^\prime(t)dt=2i\,dt$。
4. 计算积分$\int_{C}(x^{2}+iy^{2})dz$：
   将$f(z(t))$和$dz$代入积分式可得：
   $\int_{C}(x^{2}+iy^{2})dz=\int_{0}^{1}i(2t - 1)^{2}\cdot2i\,dt$
   根据$i^2=-1$，上式可化简为：
   $\int_{0}^{1}i(2t - 1)^{2}\cdot2i\,dt=-2\int_{0}^{1}(2t - 1)^{2}\,dt$
   令$u = 2t - 1$，则$du = 2dt$，当$t = 0$时，$u=-1$；当$t = 1$时，$u = 1$。
   $-2\int_{0}^{1}(2t - 1)^{2}\,dt=-\int_{-1}^{1}u^{2}\,du$
   根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得：
   $-\int_{-1}^{1}u^{2}\,du=-\left[\frac{1}{3}u^{3}\right]_{-1}^{1}=-\left(\frac{1}{3}\times1^{3}-\frac{1}{3}\times(-1)^{3}\right)=-\frac{2}{3}$
5. 求积分的绝对值并比较：
   $\left|\int_{C}(x^{2}+iy^{2})dz\right|=\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}$
   因为$\frac{2}{3}\lt2$，所以$\left|\int_{C}(x^{2}+iy^{2})dz\right|\leq2$。

方法二：利用积分估计公式

1. 计算曲线$C$的长度$L$：
   曲线$C$是从$-i$到$i$的有向线段，根据两点间距离公式$d=\vert z_2 - z_1\vert$，这里$z_1=-i$，$z_2 = i$，则$L=\vert i-(-i)\vert=\vert2i\vert = 2$。
2. 求被积函数$f(z)$在曲线$C$上的模的最大值$M$：
   由前面参数化可知$f(z(t))=i(2t - 1)^{2}$，则$\vert f(z(t))\vert=\vert i(2t - 1)^{2}\vert$。
   根据$\vert ab\vert=\vert a\vert\vert b\vert$，$\vert i\vert = 1$，可得$\vert f(z(t))\vert=\vert(2t - 1)^{2}\vert$。
   因为$t\in[0,1]$，所以$(2t - 1)^{2}\in[0,1]$，则$M=\max_{t\in[0,1]}\vert f(z(t))\vert = 1$。
3. 利用积分估计公式证明不等式：
   根据积分估计公式$\left| \int_C f(z) \, dz \right| \leq M \cdot L$，将$M = 1$，$L = 2$代入可得：
   $\left| \int_C (x^2 + iy^2) \, dz \right| \leq 1\times2 = 2$