1 设函数f(x)在闭区间[0,2]上连续，varphi(x)=int_(0)^x^(2)f(t)dt，则varphi^prime(1)=_.A. f(1)B. 2f(1)C. f'(1)D. 2f'(1)

本题考查变上限积分求导的知识点。解题思路是先根据变上限积分求导法则求出$\varphi(x)$的导数$\varphi^{\prime}(x)$，再将$x = 1$代入$\varphi^{\prime}(x)$中计算出$\varphi^{\prime}(1)$的值。

已知$\varphi(x)=\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt$，令$u = x^2$，则$\varphi(x)$可看作是由$F(u)=\int_{0}^{u}f(t)dt$与$u = x^2$复合而成的函数。

根据复合函数求导法则$\frac{d\varphi}{dx}=\frac{d\varphi}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，以及变上限积分求导公式$\frac{d}{du}\int_{a}^{u}f(t)dt = f(u)$，对$\varphi(x)$求导：

• 先对$F(u)=\int_{0}^{u}f(t)dt$关于$u$求导，可得$\frac{dF}{du}=f(u)$。
• 再对$u = x^2$关于$x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{du}{dx}=2x$。

将上述结果代入复合函数求导法则中，可得$\varphi^{\prime}(x)=\frac{d\varphi}{dx}=\frac{d\varphi}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f(u)\cdot2x$，把$u = x^2$代回，得到$\varphi^{\prime}(x)=2xf(x^2)$。

最后将$x = 1$代入$\varphi^{\prime}(x)$中，可得$\varphi^{\prime}(1)=2\times1\times f(1^2)=2f(1)$。