设总体 X 的概率密度函数为 f(x) = } theta x^theta-1, & 0 < x < 1 0, & (其他) (theta > 0)(1) 求总体均值 E(X) ；(2) 基于简单随机样本 X_1, ..., X_n ，求 theta 的最大似然估计量。

(1) 求总体均值 $E(X)$
由概率密度函数 $f(x) = \theta x^{\theta-1}$（$0 < x < 1$），得
$E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot \theta x^{\theta-1} \, dx = \theta \int_{0}^{1} x^{\theta} \, dx = \theta \cdot \frac{1}{\theta+1} = \frac{\theta}{\theta+1}$
答案： $E(X) = \boxed{\frac{\theta}{\theta+1}}$

(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量
似然函数为
$L(\theta) = \theta^n \prod_{i=1}^{n} X_i^{\theta-1}$
取对数似然函数并求导得
$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^{n} \ln X_i = 0$
解得
$\theta = -\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln X_i} \quad \text{(或等价表示：$\theta = \frac{n}{-\sum_{i=1}^{n} \ln X_i}$)}$
答案： $\hat{\theta} = \boxed{-\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln X_i}}$（其中 $\sum_{i=1}^{n} \ln X_i < 0$，保证 $\hat{\theta} > 0$）