求函数 =(x)^2-(y)^3+2xy+y+2 的极值.

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数 $z={x}^{2}-{y}^{3}+2xy+y+2$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数 $z_x$ 和 $y$ 的偏导数 $z_y$，我们有：
$$
z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 2y
$$
$$
z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -3y^2 + 2x + 1
$$
步骤 2：求驻点
为了找到函数的极值点，我们需要解方程组 $z_x = 0$ 和 $z_y = 0$。即：
$$
\left \{ \begin{matrix} 2x + 2y = 0,\\ -3y^2 + 2x + 1 = 0\end{matrix} \right.
$$
解这个方程组，我们得到两个驻点：$(-\dfrac {1}{3},\dfrac {1}{3})$ 和 $(1,-1)$。
步骤 3：判断极值点
为了判断这些驻点是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数，并使用二阶偏导数的判别式 $AC - B^2$。其中，$A = z_{xx}$，$B = z_{xy}$，$C = z_{yy}$。我们有：
$$
z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2
$$
$$
z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2
$$
$$
z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -6y
$$
对于驻点 $(-\dfrac {1}{3},\dfrac {1}{3})$，我们有：
$$
A = 2, B = 2, C = -2
$$
$$
AC - B^2 = 2 \times (-2) - 2^2 = -4 - 4 = -8 < 0
$$
因此，$(-\dfrac {1}{3},\dfrac {1}{3})$ 不是极值点。
对于驻点 $(1,-1)$，我们有：
$$
A = 2, B = 2, C = 6
$$
$$
AC - B^2 = 2 \times 6 - 2^2 = 12 - 4 = 8 > 0
$$
因此，$(1,-1)$ 是极小值点。