7.设x_(1),x_(2),...,x_(n)是来自帕雷托(Pareto)分布p(x;theta)=thetacdot a^thetax^-(theta+1), x>a,theta>0的样本(a>0已知)，试给出一个充分统计量.
题目解答
答案
样本的联合密度函数为
$f(x_1, x_2, \ldots, x_n; \theta) = \theta^n \cdot a^{n\theta} \cdot \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-(\theta+1)}.$
令 $ T = \prod_{i=1}^n x_i $，则
$f(x_1, x_2, \ldots, x_n; \theta) = g(T; \theta) \cdot h(x_1, x_2, \ldots, x_n),$
其中 $ g(T; \theta) = \theta^n \cdot a^{n\theta} \cdot T^{-(\theta+1)} $，$ h(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1 $。
由因子分解定理，$ T = \prod_{i=1}^n x_i $ 是 $ \theta $ 的充分统计量。
等价地，$ \sum_{i=1}^n \ln x_i $ 也是充分统计量（因 $ \prod_{i=1}^n xi = \exp\left( \sum{i=1}^n \ln x_i \right) \））。
答案：
$\boxed{\prod_{i=1}^n x_i} \quad \text{或} \quad \boxed{\sum_{i=1}^n \ln x_i}$
解析
考查要点：本题主要考查充分统计量的判定方法，特别是利用因子分解定理来确定充分统计量。
解题核心思路：
- 写出样本的联合密度函数，将其分解为与参数$\theta$相关的部分和与$\theta$无关的部分。
- 根据因子分解定理，若联合密度函数可表示为$g(T;\theta) \cdot h(\mathbf{x})$，则统计量$T$为充分统计量。
- 关键点在于识别出联合密度函数中依赖$\theta$的因子，并将其与统计量关联。
破题关键：
- 乘积形式的联合密度函数中，$\prod x_i$的幂次项与$\theta$相关，因此$\prod x_i$或其对数变换$\sum \ln x_i$是核心统计量。
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写出联合密度函数
样本的联合密度函数为：
$f(x_1, x_2, \ldots, x_n; \theta) = \prod_{i=1}^n \theta \cdot a^{\theta} \cdot x_i^{-(\theta+1)} = \theta^n \cdot a^{n\theta} \cdot \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-(\theta+1)}.$ -
应用因子分解定理
将联合密度函数分解为两部分：- 与$\theta$相关的部分：$\theta^n \cdot a^{n\theta} \cdot T^{-(\theta+1)}$，其中$T = \prod_{i=1}^n x_i$。
- 与$\theta$无关的部分：$h(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$。
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确定充分统计量
根据因子分解定理，统计量$T = \prod_{i=1}^n x_i$是充分统计量。
进一步，由于$\prod x_i = \exp\left( \sum \ln x_i \right)$，因此$\sum_{i=1}^n \ln x_i$也是充分统计量。